Matematyka.pl

Witam, postanowiłem powtórzyć sobie trygonometrię bo pare lat sie do tego nie dotykałem i natrafiłem na problem w prostym równianiu. Mianowicie rozwiązuje je w następujący sposób:

sinxcosx - cosx = 0

Przenosze cosx na drugą strone i otrzymuje

sinxcosx = cosx

następnie obie strony dzielę przez cosx i otrzymuję:

sinx = 1

i dalej z własności sinusa otrzymuję rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x = \frac{\Pi}{2} + 2k\Pi}\) \(\displaystyle{ k\in C}\)

natomiast w rzeczywistości rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x = \frac{\Pi}{2} + k\Pi}\) \(\displaystyle{ k\in C}\)

Czyli gdzieś mam błąd w rozumowaniu (w sposobie rozwiązywania) .
W którym miejscu?

**********************************************

Już sobie z tym poradziłem, zrobiłem tak:

sinxcosx - cosx = 0

cosx wyłączam przed nawias

cosx(sinx-1) = 0

równanie to jest spełnione gdy cosx= 0 czyli \(\displaystyle{ x = \frac{\Pi}{2} + 2k\Pi}\) \(\displaystyle{ k\in C}\) lub \(\displaystyle{ x = -\frac{\Pi}{2} + 2k\Pi}\) \(\displaystyle{ k\in C}\) lub gdy sinx = 1 czyli \(\displaystyle{ x = \frac{\Pi}{2} + 2k\Pi}\) \(\displaystyle{ k\in C}\) i teraz rzeczywiście widać, że rozwiązanie powtarza się co \(\displaystyle{ k\Pi}\) \(\displaystyle{ k\in C}\)


Popełniłem błąd w tym miejscu sinxcosx = cosx gdy podzieliłem obie strony równania przez cosx, dlaczego tak nie można robić? proszę również o inne wskazówki i spostrzeżenia dotyczące tego równania. Z góry dzięki za pomoc

Nie można dzielić przez cosx, bo może być to przecież równe 0 i dostajemy symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\)

Racja!! wszyscy znamy słynne powiedzenie " Pamiętaj ***** nie dziel przez zero " dzieki za wskazówkę, bede juz o tym pamiętał przy każdym równaniu

Przez cosx można podzielić przy zastrzeżeniu iż jest różny od 0 obliczyć a potem sprawdzić co siędzieje gdy cosx jest równy 0 ponieważ w tym równaniu jest tak iż wtedy też ma rozwiąznie bo 0=0 więc trzeba wziąć go też pod uwage po zsumowaniu odpowiedzi wyjdzie ci prawidłowa. Taka metod jest dobra gdy niema tego drugiego przypadku czyli gdy wiemy iż to przez co dzielimy napewmo nie jest 0, naprzykłat gdyby w zadaniu było zastrzeżenie iż x jest różny od (pi)/2+k(pi)..

\(\displaystyle{ \sin x \cos x - \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x(\sin x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0\vee sinx=1}\)

Dalej sobie poradzisz chyba:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki