Zadanie z kinematyki (Kulka odbijająca się od płaszczyzny

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
Sir Ferdek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 29 gru 2006, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrowy Tuszowskie
Podziękował: 5 razy

Zadanie z kinematyki (Kulka odbijająca się od płaszczyzny

Post autor: Sir Ferdek » 30 wrz 2007, o 14:50

Proszę o pomoc z tym zadaniem...

Kod: Zaznacz cały

Z wysokości h=2,5 m spada na poziomą płaszczyznę kulka, odbija się od niej, znów spada, itd. Prędkość kulki po każdym odbiciu jest k=1,1 razy mniejsza niż przed odbiciem. Oblicz czas, po którym ruch kulki ustanie.
Wydaje mi się że tutaj trzeba zastosować ciągi liczbowe, ale niewiem jak (jeszcze się nie uczyłem). Jeszcze raz proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Zadanie z kinematyki (Kulka odbijająca się od płaszczyzny

Post autor: Amon-Ra » 30 wrz 2007, o 17:31

Sir Ferdek pisze:tutaj trzeba zastosować ciągi liczbowe, ale niewiem jak (jeszcze się nie uczyłem).
Cóż to za pomysł, aby takie zadanie dawać komuś w Twoim wieku, skoro, jak piszesz, z szeregami geometrycznymi jeszcze nie miałeś kontaktu .

Zakładamy, iż kulka odbijać się będzie nieskończoną ilość razy i nie występują żadne straty energii mechanicznej.

Czas spadania z wysokości początkowej h oznaczmy przez \(\displaystyle{ t_0}\). Czas wznoszenia po pierwszym odbiciu oznaczmy przez \(\displaystyle{ t_1}\), będzie on identyczny, jak czas spadania z wysokości oznaczonej przez nas \(\displaystyle{ h_1}\). Analogicznie - czasy po odbiciu drugim, trzecim, czwartym, ..., n-tym oznaczymy przez \(\displaystyle{ t_2, \ t_3, \ t_4, \ ..., \ t_n}\).

Zauważ, iż kulka spadając z wysokości początkowej osiągnie prędkość końcową (tuż przed zetknięciem z gruntem), którą można uzyskać z zasady zachowania energii:

\(\displaystyle{ mgh=\frac{mv_{0}^{2}}{2} \\ v_{0}=\sqrt{2gh}}\)

Można udowodnić, iż prędkość, jaką dysponować będzie kulka bezpośrednio po pierwszym odbiciu będzie taka sama, jak bezpośrednio przed drugim odbiciem, gdyż ruch w polu grawitacyjnym jest symetryczny. Okaże się także, iż czas wznoszenia się kulki po pierwszym odbiciu jest taki sam, jak czas opadania po pierwszym i jednocześnie przed drugim odbiciem.
Jak wyznaczyć ów czas? Wiemy, że dla ciała opadającego w polu grawitacyjnym bez prędkości początkowej (a tak jest, gdyż zanim kulka zacznie opadać, wzbije się na pewną wysokość \(\displaystyle{ h_n}\) i zatrzyma się na ułamek sekundy) prędkość wyraża się funkcją liniową czasu jako \(\displaystyle{ v(t)=gt}\). W szczególności, po czasie \(\displaystyle{ t=t_n}\) prędkość kulki wyniesie \(\displaystyle{ v_n}\):

\(\displaystyle{ gt_{n}=v_{n} \\ t_{n}=\frac{v_{n}}{g}}\)

Ile wyniesie \(\displaystyle{ v_{n}}\)? W treści zadania podano, że prędkość po odbiciu jest k razy mniejsza od prędkości bezpośrednio przed odbiciem:

\(\displaystyle{ v_{1}=\frac{v_{0}}{k} \\ v_{2}=\frac{v_{1}}{k}=\frac{v_{0}}{k^2} \\ v_{3}=\frac{v_{2}}{k}=\frac{v_{0}}{k^3} \\ ... \\ v_{n}=\frac{v_{n-1}}{k}=\frac{v_{0}}{k^n}}\)

Stąd \(\displaystyle{ t_{n}=\frac{v_{0}}{gk^n}}\).

Od odbicia n-tego do odbicia (n+1)-szego mijają dokładnie dwa czasy \(\displaystyle{ t_n}\), stąd czas całkowity, od momentu rozpoczęcia lotu kulki, równy będzie sumie wszystkich czasów "po drodze":

\(\displaystyle{ T=t_0+2t_1+2t_2+2t_3+...+2t_n+...=t_0+2(t_1+t_2+t_3+...)}\)

Możemy to zapisać w sposób bardziej elegancki, korzystając ze znaczka \(\displaystyle{ \Sigma}\) (grecka litera sigma), który oznacza sumę:

\(\displaystyle{ T=t_0+2\sum_{n=1}^{\infty}t_{n} \\ T=\frac{\sqrt{2gh}}{g}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{v_0}{gk^n}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{2v_0}{g}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{2\sqrt{2gh}}{g}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\sqrt{\frac{8h}{g}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^n}}\)

Drugi człon to suma szeregu liczbowego, który ma na szczęście tę cechę, iż jest szeregiem geometrycznym - związany z nim ciąg czasów lotu \(\displaystyle{ (t_n)}\) rośnie w sposób geometryczny, czyli \(\displaystyle{ t_n=t_1q^{n-1}}\), gdzie q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Jeżeli spełnia on warunek \(\displaystyle{ |q|}\)

Sir Ferdek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 29 gru 2006, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrowy Tuszowskie
Podziękował: 5 razy

Zadanie z kinematyki (Kulka odbijająca się od płaszczyzny

Post autor: Sir Ferdek » 30 wrz 2007, o 22:10

Dziękuję bardzo za pomoc.

ODPOWIEDZ