Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

Post autor: Leoneq » 5 kwie 2018, o 16:49

Mam takie oto zadanie:
Pokaż, że równanie \(ty' + ay = f(t)\) gdzie \(a > 0\), \(\lim_{ t\to0 }f(t)=b\)
ma jedyne rozwiązanie ograniczone dla \(t\to 0\). Zbadaj przypadek \(a < 0\)

No i doszedłem do czegoś takiego
\(y = \frac{ \int_{}^{} t^{a-1} f(t) dt - C} {t^{a}}\)

I nie mam pojęcia jak to dalej ruszyć i co dają mi te warunki.
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2018, o 17:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

Post autor: bartek118 » 5 kwie 2018, o 17:59

Jedyność - przypuść, że istnieją dwa rozwiązania. Jakie wówczas równanie spełnia różnica tych rozwiązań? Otrzymasz równanie zmiennych rozdzielonych i wzór na różnicę między rozwiązaniami.

Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

Post autor: Leoneq » 5 kwie 2018, o 19:26

Czyli zakładam że istnieją dwa rozwiązania \(y_{1}\) i \(y_{2}\).
Wtedy \(ty_{1}' +ay_{1} - ty_{2}' - ay_{2} = f(t)-f(t)=0\)

Dalej przekształcając mam:
\(\frac{y_{1}' - y_{2}'}{-a(y_{1} - y_{2})} = \frac{1}{t}\)

Podstawiam jakieś \(z(t) = y_{1} - y_{2}\)

I dostaję że \(\int_{}^{} \frac{dz}{-az} = \ln (t)\)

a potem \(\ln (z ^{-a} ) = \ln (t)\)

I dalej \(y_{1} - y_{2} = \sqrt[-a]{t} = \frac{1}{ \sqrt[a]{t} }\)

I nadal niezbyt wiem gdzie mam wykorzystać granicę \(\lim_{t \to 0}f(t) = b\) i to że \(a > 0\)
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2018, o 21:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

Post autor: bartek118 » 5 kwie 2018, o 19:44

No dobra - tylko, gdzieś stałą całkowania zgubiłeś. Masz, że dla dowolnych rozwiązań zachodzi
\(y_1 (x) = y_2(x) + \frac{C}{\sqrt[a]{t}}\)
Zatem, jeśli \(C \neq 0\), to drugie z rozwiązań nie jest ograniczone. Czyli rozwiązanie ograniczone istnieje co najwyżej jedno.

Granicę musisz wykorzystać, aby pokazać, że istnieje przynajmniej jedno ograniczone rozwiązanie.

Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Pokaż, że równanie ma jedyne rozwiązanie dla t->0.

Post autor: Leoneq » 5 kwie 2018, o 20:10

Czy wystarczy że powiem że jeśli:
\(\lim_{t \to 0}f(t) = \lim_{t \to 0}ty'(t)+ay(t) = b\)
To oznacza, że istnieje co najmniej jedno rozwiązanie, które jest ograniczone, bo jeśli nie istniało by rozwiązanie ograniczone to wtedy ta granica nie mogłaby być równa b, bo jeśli funkcja y dążyłaby do nieskończoności to jej pochodna byłaby większa od 0 więc ta granica byłaby nieskończona bo a>0 i podobnie w minus nieskończoności.

Za to warunek \(a>0\) daje nam to, że nie może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie które jest ograniczone, bo przy warunku \(a<0, \frac{C}{ \sqrt[a]{t} }\) nie będzie dążyć do nieskończoności dla \(t \rightarrow 0\)

ODPOWIEDZ