Matematyka.pl

Mamy dwie rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X_i : \Omega_i \rightarrow \RR^{n_i}}\).
Patrzymy sobie na całkę \(\displaystyle{ \EE_{X_1} \EE_{X_2} f(X_1,X_2)}\) dla pewnej funkcji mierzalnej i ograniczonej \(\displaystyle{ f: \RR^{n_1} \times \RR^{n_2} \rightarrow \RR}\). Ja twierdzę, że \(\displaystyle{ \EE_{X_1} \EE_{X_2} f(X_1,X_2)}\) jest równe \(\displaystyle{ \EE_{X_2} \EE_{X_1} f(X_1,X_2)}\) niezależnie od tego jak się mają \(\displaystyle{ X_i}\) do siebie (w szczególności nie ma znaczenia to, czy są niezależne). Prawda to, czy nie?

Krótka odpowiedź jest taka, że tak to działa, ale nie do końca.

Problem jest taki, że formalnie napis \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_1} \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2)}\) nie ma sensu; łączny rozkład zmiennych \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) jest jakąś miarą probabilistyczną na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) i w zasadzie nie ma powodu, żeby względem tej miary dało się najpierw całkować względem jednej zmiennej, a potem względem drugiej. Na szczęście taki powód jest i jest nim lemat o plasterkowaniu miary (). To plasterkowanie można wykonać w obu kierunkach, co nadaje sens tym całkom oraz pokazuje ich równość.

Jeśli chcesz pozostać przy probabilistycznej interpretacji, to ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_2} f(X_1,X_2)}\) powinno oznaczać warunkową wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \mathbb{E}(f(X_1,X_2)| X_1)}\), która jest postaci \(\displaystyle{ g(X_1)}\) dla pewnej mierzalnej funkcji \(\displaystyle{ g}\); potem faktycznie można odcałkować względem zmiennej \(\displaystyle{ X_1}\). W tym języku Twoja równość to
\(\displaystyle{ \mathbb{E} (\mathbb{E}( f(X_1,X_2)| X_1)) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(f(X_1,X_2)|X_2))}\)
i wynika z tego, że obie strony są równe \(\displaystyle{ \mathbb{E} f(X_1,X_2)}\).

Problem jest taki, że formalnie napis \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_1} \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2)}\) nie ma sensu;

Dlaczego nie ma sensu?
Definiujemy funkcję: \(\displaystyle{ h: x \rightarrow \int_{}^{} f(x,y) d\mu_{X_2}(y)}\) .
Zakładamy oczywiście, że jest mierzalna i wówczas \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2) = h(X_1 )}\) .

Ja nie twierdzę przecież, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}_{X_1} \mathbb{E}_{X_2} f(X_1, X_2) = \mathbb{E}_{(X_1,X_2)} f(X_1,X_2)}\) .

Ok, jak definiujesz to w ten sposób, to jest to po prostu klasyczne twierdzenie Fubiniego dla miary produktowej; trochę mylące jest wprowadzanie zmiennych losowych, bo definiując całki iterowane w ten sposób sprawiasz, że zmienne \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) są traktowane jako niezależne. Jedyna subtelność polega teraz na tym, że Twoja funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest dobrze określona i mierzalna -- to też jest część twierdzenia Fubiniego.