Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio » 31 mar 2018, o 17:19

Mam takie oto równanie:

\(y''-y'=\sinh x\)

Z obliczeniem równania charakterystycznego nie mam problemu, jednak zastanawia mnie druga strona równania. Czy mogę sobie tego sinusa hiperbolicznego zastąpić jako:

\(\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)

No i jeżeli mogę to w jaki sposób ugryźć takie zadanko?
Ostatnio zmieniony 31 mar 2018, o 17:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol pochodnej to '. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: kerajs » 31 mar 2018, o 17:28

Tak, mozesz tak rozpisać.
Całka ogólna równania jednorodnego to:
\(y_o=C_1+C_2e^x\)
Wobec tego przewidujesz całkę szczególną równania niejednorodnego jako:
\(y_s=Axe^x+Be^{-x}\)

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: bartek118 » 31 mar 2018, o 17:30

Tak - możesz zastąpić.
Zauważ, że tak naprawdę masz równanie pierwszego rzędu. Podstawiając \(z = y'\) dostajemy zagadnienie
\(z'(x) - z(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)
Teraz, mnożąc obustronnie przez \(e^{-x}\) mamy
\(e^{-x} z'(x) + (-e^{-x})z(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\ (e^{-x} z(x) ) ' = \frac{1 - e^{-2x}}{2}\)
Podstawiając \(u(x) = e^{-x} z(x)\) dostajesz równanie
\(u'(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\ u(x) = \int\frac{1 - e^{-2x}}{2} \, \mathrm{d}x\)
Obliczasz tę całkę, a następnie cofasz się z podstawieniami.

wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio » 2 kwie 2018, o 18:20

Okej, więc zacząłem robić to zadanko.
y' z całki szczególnej wyszedł mi taki sam jak całka szczególna i należy to podstawić do głównego wzoru.
Oto jak to wygląda:
\(Ae^{x}+Be^{-x}-Ae^{x}+Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\)
A po skróceniu:
\(2Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\)
No i teraz co? Wyjdzie mi że:
\(A=0\)
\(B=\frac{1}{4}\)
Mam rację?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: bartek118 » 2 kwie 2018, o 19:14

wolnio pisze:Okej, więc zacząłem robić to zadanko.
y' z całki szczególnej wyszedł mi taki sam jak całka szczególna i należy to podstawić do głównego wzoru.
Oto jak to wygląda:
\(Ae^{x}+Be^{-x}-Ae^{x}+Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\)
A po skróceniu:
\(2Be^{-x}=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\)
No i teraz co? Wyjdzie mi że:
\(A=0\)
\(B=\frac{1}{4}\)
Mam rację?
Zdaje się, że zgubiłeś iksa: \(Axe^x\), a nie \(Ae^x\).

wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio » 2 kwie 2018, o 19:55

Faktycznie
No to skoro tak to:
\(y_{s}=Axe^{x}+Be^{-x} \\ y_{s}'=Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x} \\ y_{s}''=Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}\)
To później po podstawieniu:
\(A=\frac{1}{4} \\ B=0\)
?
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 20:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol pochodnej to ' - nie używaj \prime.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: kerajs » 2 kwie 2018, o 20:44

wolnio pisze:\(e^{-x} \\ y_{s}'=Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x} \\ y_{s}''=Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}\)
To później po podstawieniu:
\(A=\frac{1}{4} \\ B=0\)
Mi wychodzi inaczej:
\(y''-y'= \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x} \\ \left( Axe^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}+Be^{-x}\right) -\left( Axe^{x}+Ae^{x}-Be^{-x}\right) = \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x} \\ Ae^{x}+2Be^{-x}\right) = \frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2}e^{-x} \\ A=\frac{1}{2} \wedge B=\frac{-1}{4}\)

Rozwiązaniem równania jest:
\(y=C_1+C_2e^x+ \frac{1}{2}xe^x- \frac{1}{4}e^{-x}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2018, o 20:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

wolnio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 31 mar 2018, o 16:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Sinus hiperboliczny - równanie różniczkowe II rzędu

Post autor: wolnio » 2 kwie 2018, o 21:11

Okej.
Wszystko dobrze liczyłem tylko do wzoru podstawiłem \(y\) zamiast \(y'\).
Ale teraz wszystko się zgadza.
Dzięki za pomoc

ODPOWIEDZ