Matematyka.pl

Jeżeli mamy funkcję daną wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x ^{3}+6x ^{2}-15x+4}\), a za zadanie wyznaczyć równoległe z osią OX styczne do wykresu tej funkcji, to licząc z pochodnej wychodzą nam przedziały monotoniczności funkcji, a mianowicie:
1. Funkcja rośnie dla \(\displaystyle{ x \in (- \infty;-5) \cup (1;+ \infty)}\)
2. Maleje dla \(\displaystyle{ \in (-5;1)}\)

Ponieważ współczynnik kierunkowy prostych musi się równać \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ a=f'(x _{0})}\), oznacza, że dla \(\displaystyle{ x _{0} = -5 \vee x_{0} = 1}\) współczynnik się zgadza, i prosta jest styczna to wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\).

No i wszystko fajnie ładnie, jedna styczna równa się \(\displaystyle{ 104}\), a druga \(\displaystyle{ -4}\), tylko że funkcja osiąga wartości z przedziału \(\displaystyle{ y \in (- \infty;+ \infty)}\), a ponieważ funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych, to styczne do wykresu funkcji, jednocześnie równoległe do osi OX nie istnieją?
Czegoś nie rozumiem, mylę się, czy pochodne działają tylko "czasami"?

Dla pewności sprawdziłem wykres tej funkcji w programie rysującym wykresy i obie styczne przecinają się w dwóch punktach wykresu.

illwreakyabonez pisze:No i wszystko fajnie ładnie, jedna styczna równa się \(\displaystyle{ 104}\), a druga \(\displaystyle{ -4}\), tylko że funkcja osiąga wartości z przedziału \(\displaystyle{ y \in (- \infty;+ \infty)}\),

No i co z tego?

illwreakyabonez pisze:a ponieważ funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych, to styczne do wykresu funkcji, jednocześnie równoległe do osi OX nie istnieją?

Istnieją - wyznaczyłeś je.

illwreakyabonez pisze:Dla pewności sprawdziłem wykres tej funkcji w programie rysującym wykresy i obie styczne przecinają się w dwóch punktach wykresu.

No i co z tego? Styczność jest własnością lokalną - mówimy o styczności w punkcie. To, że gdzieś dalej prosta przecina wykres funkcji nie ma nic do rzeczy.

JK

Być styczną nie oznacza, że nie może się ona przeciąć z wykresem funkcji.

A styczna może przeciąć wykres nawet w punkcie styczności.

funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych

Czy jesteś tego pewien?

Dilectus pisze:

funkcja nie przyjmuje ani wartości minimalnych, ani maksymalnych

Czy jesteś tego pewien?

\(\displaystyle{ + \infty}\) i \(\displaystyle{ - \infty}\) to wyrażenia nieoznaczone, więc nie można stwierdzić, czy funkcja nie osiąga wartości mniejszej/większej, niż to, co sobie wymyślisz. Nie odnaleziono jeszcze liczby największej, o ile się nie mylę

\(\displaystyle{ f(x)=x^3+6x^2-15x+4}\)

policzmy pochodną

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+12x-15=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=144+12\cdot15=324>0}\)

a więc istnieją dwa ekstrema - maksimum i minimum, jak to często bywa w wielomianach stopnia trzeciego.

Dilectus pisze:\(\displaystyle{ f(x)=x^3+6x^2-15x+4}\)

policzmy pochodną

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2+12x-15=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=144+12\cdot15=324>0}\)

a więc istnieją dwa ekstrema - maksimum i minimum, jak to często bywa w wielomianach stopnia trzeciego.

Tak, są to ekstrema lokalne, ale nie wartości maksymalne i minimalne funkcji

Cóż, zupełnie niepotrzebnie pomieszałeś dwie niezależne rzeczy: istnienie stycznych do krzywej (własność lokalna) i istnienie ekstremów funkcji (własność globalna). Po wyjaśnieniach wyżej powinieneś wiedzieć, że nie maja one ze sobą żadnego związku.

Natomiast istnienie poziomych stycznych do krzywej ma jak najściślejszy związek z ekstremami lokalnymi.

a4karo pisze:Cóż, zupełnie niepotrzebnie pomieszałeś dwie niezależne rzeczy: istnienie stycznych do krzywej (własność lokalna) i istnienie ekstremów funkcji (własność globalna). Po wyjaśnieniach wyżej powinieneś wiedzieć, że nie maja one ze sobą żadnego związku.

Natomiast istnienie poziomych stycznych do krzywej ma jak najściślejszy związek z ekstremami lokalnymi.

Tak, poprzednią Twoją wiadomość przeczytałem i zrozumiałem zagadnienie, tylko nie dałem znać na forum :/
Już jest dla mnie jasne od tygodnia
Chodzi o styczność lokalną, nie "globalną". Dziękuję za pomoc

Pewnie i tak już to rozumiesz ale wydaje mi się że warto podkreśli że jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu. Styczna do krzywej już tego nie wymaga by uniknąć właśnie takich problemów więc definiuje się granicę ciągu siecznych.

Janusz Tracz pisze:Pewnie i tak już to rozumiesz ale wydaje mi się że warto podkreśli że jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu. Styczna do krzywej już tego nie wymaga by uniknąć właśnie takich problemów więc definiuje się granicę ciągu siecznych.

Sorry, ale co tu na okrąg do roboty?

illwreakyabonez, Pisał że martwi go fakt iż styczna przecina wykres w kilku punktach (tak zrozumiałem). Te obawy nie są bezpodstawne bo styczną do okręgu definiuje się jak prostą mającą tylko jeden punkt wspólny z tym okręgiem. Myślałem więc że illwreakyabonez, mógł stosować definicje stycznej do okręgu stosując ją do krzywej. Co niepotrzebnie wywołało zakłopotanie tymi wielokrotnymi punktami przecięcia które są dozwolone są stycznej do krzywej.

Janusz Tracz pisze:Pewnie i tak już to rozumiesz ale wydaje mi się że warto podkreśli że jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu. Styczna do krzywej już tego nie wymaga by uniknąć właśnie takich problemów więc definiuje się granicę ciągu siecznych.

Ciekawe spostrzeżenie, nie da się ukryć. Na pewno będę miał to na uwadze w późniejszych zadaniach -
przyznam się, że równania okręgów taktycznie pominąłem na rzecz pochodnych, ale niedługo to nadrobię ;p

Janusz Tracz pisze:jest definicja pewnej stycznej która wymaga styczności tylko w jednym punkcji, jest to definicja stycznej do okręgu.

Tak? A ja mam wrażenie, że jest dokładnie odwrotnie - to, że styczna do okręgu (w jakimkolwiek jego punkcie) ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny jest własnością okręgu, a nie wynika z definicji stycznej, która także w tym wypadku może być definiowana jak granica siecznych. Oczywiście tę własność dla wygody często przyjmuje się jako definicję.

JK

PS
Nawiasem mówiąc, nie wiem czemu wyróżniłeś okrąg. Co na to elipsa?