Matematyka.pl

O wielomianie \(\displaystyle{ w(x) =x^3+bx^2+cx+d}\), wiadomo, że posiada trzy różne niezerowe pierwiastki, których suma wynosi \(\displaystyle{ k}\), a suma odwrotności \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą. Uzasadnij, że \(\displaystyle{ k}\) jest pierwiastkiem wielomianu.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

Oznaczamy pierwiastki przez \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\). Z założenia zadania \(\displaystyle{ \frac{1}{k}=\frac{1}{x_1+x_2+x_3}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\iff (x_1+x_2)(x_2+x_3)(x_3+x_1)=0\implies k\in\lbrace x_1,x_2,x_3\rbrace}\)
Pierwsze przejście równoważne jest po wymnożeniu obustronnie przez \(\displaystyle{ x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)}\) zaś drugie wprost wynika z udowodnionej tożsamości i wzoru \(\displaystyle{ k=x_1+x_2+x_3}\)

Skorzystaj ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.