oblicz calke

[robin5hood]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}t^n e^{-xt}dt}}\)

[scyth]

Rozsądnym wydaje się być założenie, że \(\displaystyle{ x > 0}\).
Niech \(\displaystyle{ T_n=\int_{0}^{\infty} t^n e^{-xt}dt}\). Całkując przez części mozna pokazać, że:
\(\displaystyle{ T_n=\frac{n}{x}T_{n-1}}\)
oraz następnie, że:
\(\displaystyle{ T_n=\frac{n!}{x^n}T_0=\frac{n!}{x^{n+1}}}\)
Myslę, że teraz żaden z tych kroków nie powinien sprawić Ci problemu.