Równanie różniczkowe - udowodnij z nierówności Gronwalla

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Równanie różniczkowe - udowodnij z nierówności Gronwalla

Post autor: Leoneq » 22 mar 2018, o 17:41

Mam zadanie o podanej treści:
Stosując lemat Gronwalla udowodnij, że:
\(\displaystyle{ y(t) = -1}\)
jest jedynym rozwiązaniem
zagadnienia:
\(\displaystyle{ y' = t(1 + y), y(0) = -1}\)

I w sumie to nawet nie wiem gdzie zacząć.
Myślałem żeby jakoś "wcisnąć" to co mam w tę nierówność, ale jedyne co dostałem to coś takiego:
\(\displaystyle{ t \le c + \int_{0}^{t} s \cdot (1+s) ds}\)
I po przeliczeniu zostaje mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 0 \le \frac{ t^{3} }{3} + \frac{t^{2}}{2} - t + C}\)
I co dalej to nie wiem, więc jakoś tak myślę, że nie do końca jest to strona w którą należy iść.
Ostatnio zmieniony 22 mar 2018, o 20:25 przez Leoneq, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14203
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 4656 razy

Re: Równanie różniczkowe - udowodnij z nierówności Gronwalla

Post autor: Premislav » 22 mar 2018, o 19:58

Kiedyś też o coś podobnego pytałem (różnica chyba tylko w warunku początkowym), może ten wątek Ci pomoże: 385855.htm

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Równanie różniczkowe - udowodnij z nierówności Gronwalla

Post autor: bartek118 » 22 mar 2018, o 20:02

Ale \(\displaystyle{ y(t) = 1}\) nie jest rozwiązaniem tego zagadnienia. A ogólnie robi się to tak - przypuśćmy, że istnieje drugie rozwiązanie; piszemy jakie równanie różniczkowe spełnia różnica tych rozwiązań i stosujemy Gronwalla.

Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Re: Równanie różniczkowe - udowodnij z nierówności Gronwalla

Post autor: Leoneq » 22 mar 2018, o 20:26

@bartek118
Oczywiście chodziło o \(\displaystyle{ y(t)=-1}\) tylko jakiś problem z kodowaniem znaku minus jest

-- 22 mar 2018, o 22:00 --

Jakby ktoś kiedyś jeszcze szukał to tu jest kolejne rozwiązanie tego samego zadania: 289158.htm-- 22 mar 2018, o 22:03 --W tamtym temacie użytkownik Wasilewski napisał tak:
Wasilewski pisze:Zastosuj go do funkcji \(\displaystyle{ (y+1)^2}\), o której chcesz pokazać, że musi być równa zero.
Czemu stosujemy to akurat do \(\displaystyle{ (y+1)^2}\), a nie do \(\displaystyle{ y+1}\)??

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25064
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4179 razy

Re: Równanie różniczkowe - udowodnij z nierówności Gronwalla

Post autor: Jan Kraszewski » 22 mar 2018, o 23:04

Leoneq pisze:Oczywiście chodziło o \(\displaystyle{ y(t)=-1}\) tylko jakiś problem z kodowaniem znaku minus jest
Nie ma żadnego problemu - to Ty wpisałeś pauzę zamiast minusa, a tej \(\displaystyle{ \LaTeX}\) nie rozpoznaje...

JK

ODPOWIEDZ