Matematyka.pl

Witam

Chciałem zagłębić się w temat mechaniki teoretycznej, której podstawą jest zasada najmniejszego działania. Niestety nigdzie nie mogę znaleźć w jaki sposób została ona wyprowadzona lub jakie rozumowanie doprowadziło do jej opracowania, a wszelkie wyprowadzenia dotyczą równań Lagrange'a.
Czy została ona przyjęta po prostu tak jak zasady dynamiki Newtona, czyli stwierdzono doświadczalnie, że tak po prostu ma być? W przypadku zasad dynamiki Newtona jest to akurat łatwe do zaobserwowania, tutaj już nie.

Z góry dziękuję za wyjaśnienie tematu.

Być może usatysfakcjonuje takie opracowanie:
... syczna.pdf
Autor oprac.pokazuje, jak od II zasady Newtona dojść do funkcjonału \(\displaystyle{ S}\)- działania, stosując operacje matematyczne- różniczkowanie.
....................................................................

Specjalista pisze: Czy została ona przyjęta po prostu tak jak zasady dynamiki Newtona, czyli stwierdzono doświadczalnie, że tak po prostu ma być?

Cóż, w pewnych przypadkach można ją 'wyprowadzić' z innych założeń, tak jak i wiele innych fizycznych "aksjomatów", np. równania Maxwella. Myślę, że znalezienie odpowiednich wyprowadzeń i uzasadnień nie jest aż takie takie trudne Ale koniec końców, patrząc na całą fizykę "z góry", zasadę stacjonarnego działania traktować trzeba jako taki fizyczny 'aksjomat'. Aksjomat bardzo dobrze ugruntowany, bo nie ma teorii fizycznej, której nie da się w sposób wariacyjny sformułować. Trzeba tylko czasem wyjść poza standardowy schemat, gdzie 'dynamika' układu generowana jest przez jedną funkcję (lagranżjan lub hamiltonian) i dopuścić do rozważań całą rodzinę funkcji generujących. Tak jest np. w hamiltonowskim opisie optyki geometrycznej.

Zapoznałem się z tym artykułem i w połowie rozwiał moje wątpliwości.

Rozumiem, że pierwsze przekształcenie miało służyć "zamianie" siły na energię. Potem ktoś pomyślał, że jeśli wstawi L równe różnicy energii kinetycznej i potencjalnej w te nawiasy równanie dalej będzie prawdziwe.
Hamilton pomyślał później, że układ fizyczny może zachowuje się tak, że dla której działanie L przyjmuje wartość stacjonarną. Rozwiązując to zagadnienie otrzymaliśmy równania Eulera-Lagrange'a które wyprowadzone zostały wcześniej. Takie rozumowanie mogło doprowadzić do opracowania tej zasady?

Pytanie czy nie wystarczyłoby tylko to pierwsze przekształcenie (3) - bez wprowadzania L, skoro jest prawdziwe i zawiera obie te energie oraz wymagałoby to mniejszej ilości obliczeń? Poniżej wstawiam mały wycinek z tego pdfa, aby wiadomo było o czym mowa.