Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono dwusieczną o długości 5 i wysokość o długości 4 oblicz pole trójkąta.

Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ x}\) kawałek przy krótszej przyprostąkątnej \(\displaystyle{ a}\)). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.

bakala12, zupełnie nie pamiętałem, że istnieje twierdzenie o dwusiecznej i kombinowałem, jak koń pod górę...

Wychodzi \(\displaystyle{ x= \frac{4}{7}, y=25, P= \frac{400}{7}}\), czyli tyle co w odpowiedziach. Dziękuję za pomoc.

bakala12 pisze:Oznacz sobie kawałki na jakie została podzielona przeciwprostokątna. Środkowy ma 3. Jeden niech będzie \(\displaystyle{ x}\) a drugi \(\displaystyle{ y}\) (\(\displaystyle{ x}\) kawałek przy krótszej przyprostąkątnej \(\displaystyle{ a}\)). Widać 3 trójkąty prostokątne podobne, skąd będzie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
Do tego twierdzenie o dwusiecznej \(\displaystyle{ \frac{x+3}{y}=\frac{a}{b}}\)
i liczymy.

Czy to aby na pewno jest dobrze ?
Stosunek boków trójkątów podobnych nie jest taki sam stosunkom z właściwości o dwusiecznej kąta w trójkącie:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ \neq}\)
\(\displaystyle{ \frac{x+3}{y} \neq \frac{a}{b}}\)
No tak w tym jednym przypadku, kiedy mamy do czynienia z wysokością puszczoną z konta prostego jest to prawda, gdyż boki opisanego trójkąta mają taki sam stosunek, a więc jeśli określić \(\displaystyle{ a}\) jako krótszą przyprostokątną i \(\displaystyle{ b}\) jako dłuższą:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y} = \frac{x+3}{y} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{x}{4} = \frac{4}{3+y}}\), ale tylko w tym przypadku, jeśli to nie byłby trójkąt prostokątny to taka równość byłaby nieprawdziwa.