Matematyka.pl

Dzień dobry,

tym razem mam pytanie o jądro homomorfizmu grup. Skoro z definicji funkcja przekształcająca zbiór elementów jednej grupy w zbiór elementów drugiej jest bijekcją, a ponadto element neutralny działania jest tylko jeden, to czy prawdą jest, że:

1) jądro homomorfizmu musi zawsze istnieć,

2) jądro homomorfizmu musi zawsze być jednoelementowe?

Jeśli nie, poproszę o kontrprzykład.

Nie każdy homomorfizm grup przekształca (bijektywnie) zbiór elementów jednej grupy w zbiór elementów drugiej, np. przeważnie kontrprzykładem jest homomorfizm trywialny (który wszystko przenosi na element neutralny).
A jądro homomorfizmu zawsze jest niepuste (chyba tego w istocie tyczy się pytanie, ale ściśle patrząc to jest inne pytanie niż „czy zawsze istnieje", choć i tak odpowiedź jest twierdząca), bo jak masz homomorfizm grup \(\displaystyle{ \varphi: G\rightarrow H}\), to do jądra tego homomorfizmu zawsze należy element neutralny z grupy \(\displaystyle{ G}\).
Może Ty pisałeś o izomorfizmie grup, sądząc po tym sformułowaniu. Jądro izomorfizmu grup musi być zawsze jednoelementowe (gdyż w szczególności izomorfizm grup jest injekcją i homomorfizmem grup), natomiast jądro homomorfizmu grup może mieć przeróżną moc, np. dla homomorfizmu trywialnego z \(\displaystyle{ (\ZZ,+)}\) w \(\displaystyle{ (\ZZ_3,+3)}\) jądrem jest całe \(\displaystyle{ \ZZ}\), a dla homomorfizmu z \(\displaystyle{ \ZZ}\) w \(\displaystyle{ \ZZ/3\ZZ}\) danego przez \(\displaystyle{ \varphi(x)=x\pmod{3}}\) (reszta z dzielenia \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ 3}\)) jądrem jest zbiór liczb całkowitych podzielnych przez trzy.

Tak, faktycznie użyłem złego sformułowania. Oczywiście chodziło mi o izomorfizm. To teraz już mam sprawę jasną, dziękuję.

Tylko jedna kosmetyczna poprawka w moim poście, za wcześnie wstawać nie jest dobrze, trochę spaliłem, ściśle patrząc \(\displaystyle{ x\pmod{3}}\) nie jest elementem \(\displaystyle{ \ZZ/3\ZZ}\) (chyba że utożsamimy ze sobą grupy, które są izomorficzne). Elementem \(\displaystyle{ \ZZ/3\ZZ}\) będzie \(\displaystyle{ x\pmod{3}+3\ZZ}\). Sorry.

Premislav pisze:Elementem \(\displaystyle{ \ZZ/3\ZZ}\) będzie \(\displaystyle{ x\pmod{3}+3\ZZ}\).

Czyli \(\displaystyle{ x + 3 \ZZ.}\) :p

Nie rozumiem.

\(\displaystyle{ x \pmod{3} + 3 \ZZ = x + 3 \ZZ}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\) - to trochę upraszcza zapis.

A, faktycznie. Przecież to tylko moja fanaberia, że chcę mieć akurat takich reprezentantów klas abstrakcji.