Matematyka.pl

Uzasadnij że liczba \(\displaystyle{ \frac{n ^{3} }{6} + \frac{n ^{2} }{2} + \frac{n }{3}}\) jest liczbą całkowitą dla każdej naturalnej liczby \(\displaystyle{ n}\).
Założenie
\(\displaystyle{ n \ge 0}\)
Teza:
\(\displaystyle{ \frac{n ^{3} }{6} + \frac{n ^{2} }{2} + \frac{n }{3} = 1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \frac{n ^{3} }{6} + \frac{n ^{2} }{2} + \frac{n }{3} = 1/ \cdot 6 \\
n ^{3} +n ^{2} +n - 6 =0}\)
Dalej to miejsca zerowe ale to nie ma za bardzo sensu.

W sumie nie wiem jak udowodnić że liczba jest całkowitą. Wyżej znalazłem tylko wartości dla których licznik i mianownik są takie same (ich iloraz wynosi \(\displaystyle{ 1}\)). Jak udowodnić ten dowód? Kiedy liczba jest liczbą całkowitą?

Do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{n ^{3} }{6} + \frac{n ^{2} }{2} + \frac{n }{3}= \frac{n^3+3n^2+2n}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\)

Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ 3!=6}\) (dla całkowitych dodatnich to jest oczywiste, bo z interpretacji kombinatorycznej mamy
\(\displaystyle{ {k \choose 3} \in \NN}\), zaś \(\displaystyle{ {k \choose 3}=\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}}\)), a w liczniku masz właśnie taki iloczyn.

Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez 6 - mam to. A czy jest jakiś inny sposób na "wpadnięcie" na to bo po "oczywiste" się trochę pogubiłem.

Można powiedzieć też tak, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych zawsze jest jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) i co najmniej jedna podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\), zatem ich iloczyn musi być podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\).

A czy jest jakiś inny sposób na "wpadnięcie" na to bo po

absolutnie nie ma...

Można też zastosować moją ulubioną metodę dowodzenia, czyli metodę indukcji matematycznej. Nie ma to raczej sensu, ale jeszcze nigdy nie rozwiązywałem tego typu przykładu tą metodą, więc ciekawi mnie, czy się da. Poza tym dawno niczego nie dowodziłem indukcją.


\(\displaystyle{ \frac{n^{3}}{6}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{3}=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}}\)

Sprawdzam dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1^3+3\cdot1^2+2\cdot1}{6}=\frac{6}{6}=1\in\ZZ \;\;\; OK}\)

Dla \(\displaystyle{ n>1}\)
Założenie ind.: \(\displaystyle{ \frac{n^3+3n^2+2n}{6}\in\ZZ}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ \frac{(n+1)^3+3(n+1)^2+2(n+1)}{6}\in\ZZ}\)

Dowód ind.:
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^3+3(n+1)^2+2(n+1)}{6}=
\frac{n^3+3n^2+3n+1+3n^2+6n+3+2n+2}{6}= \\ =
\frac{(n^3+3n^2+2n)+3n^2+9n+6}{6}=
\frac{n^3+3n^2+2n}{6}+\frac{3(n^2+3n+2)}{6}= \\ =
\frac{n^3+3n^2+2n}{6}+\frac{n^2+3n}{2}+\frac{2}{2}=
\frac{n^3+3n^2+2n}{6}+\frac{n(n+3)}{2}+1}\)
Pierwszy składnik jest liczbą całkowitą, co wynika z założenia ind.
W drugim składniku, jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\). Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ (n+3)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\). Z tego wynika, że cała liczba należy do całkowitych.
c.n.d.


Nie wyszło tak, jak bym tego chciał, bo i tak trzeba było dopisać dodatkowy "nieindukcyjny" komentarz do drugiego składnika. Dopiero przeprowadzenie dodatkowego dowodu dla tego jednego składnika daje ładną liczbę \(\displaystyle{ \frac{n^2+3n}{2}+n+2}\) (pierwszy składnik z założenia ind.), która nie wymaga dodatkowych wyjaśnień.

Pewne ułatwienie: mamy
\(\displaystyle{ (n+2)(n+3)(n+4)-n(n+1)(n+2)=(n+2)(n^2+7n+12-n^2-n)}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{6}-\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=(n+2)^2 \in \NN}\),
więc jeśli już robić to zadanie indukcyjnie, to proponuję nieco inny schemat indukcji:
najpierw sprawdzamy, że rozważana własność zachodzi dla \(\displaystyle{ n=1}\) oraz dla \(\displaystyle{ n=2}\), a potem pokazujemy, że jeśli własność ta zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\), to zachodzi także dla \(\displaystyle{ k+2}\).