Matematyka.pl

Witam

Zastanawiam się ostatnio czy istnieje matematyczny sposób na to by odnaleźć za jednym zamachem wyrazy wspólne dla dwóch ciągów arytmetycznych.

Powiedzmy że dane są ciągi
\(\displaystyle{ a_{x}}\) taki że \(\displaystyle{ a _{1} = 2 \wedge r = 2}\)
\(\displaystyle{ b_{x}}\) taki że \(\displaystyle{ b _{1} = 3 \wedge r = 3}\)

Powiedzmy że moim zadaniem jest dodać do siebie wszystkie wyrazy obu tych ciągów ale tak by żaden wyraz nie był dodany podwójnie - zadanie wymyślone.

Powiedzmy że mam tak zrobić dla pierwszych 10 wyrazów obu ciągów, wypiszmy wyrazy ciągów.
\(\displaystyle{ a_{1} = 2, a_{2} = 4, a_{3} = 6, a_{4} = 8, a_{5} = 10, a_{6} = 12, a_{7} = 14, a_{8} = 16, a_{9} = 18,\\ a_{10} = 20}\)

\(\displaystyle{ b_{1} = 3, b_{2} = 6, b_{3} = 9, b_{4} = 12, b_{5} = 15, b_{6} = 18, b_{7} = 21, b_{8} = 24, b_{9} = 27,\\ b_{10} = 30}\)

Wrzućmy wszystkie wypisane wyrazy do jednego kontenera/zbioru: \(\displaystyle{ \left\{ 2,3,4,6,6,9,8,10,12,12,14,15,16,18,18,20,21,24,27,30\right\}}\)
Powtarzają się wyrazy \(\displaystyle{ \left\{ 6,12,18\right\}}\)

Suma wszystkich elementów tego zbioru wynosi \(\displaystyle{ 275}\) czyli równa się sumie \(\displaystyle{ S_{1} + S_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ S_{1}}\) to suma wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_{x}}\) a \(\displaystyle{ S_{2}}\) to suma wyrazów ciągu \(\displaystyle{ b_{x}}\), sumy te wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 110}\) i \(\displaystyle{ 165.}\)
Ten wynik oczywiście nie spełnia warunków zadania.

Od sumy \(\displaystyle{ S_{1} + S_{2}}\) należy jeszcze odjąć sumę wyrazów powtarzających się czyli \(\displaystyle{ \left\{ 6,12,18\right\}}\), zatem wynik spełniający warunki zadania wynosi \(\displaystyle{ 239}\).

Trochę się napisałem a przecież to tylko \(\displaystyle{ 10}\) pierwszych wyrazów ciągu.
1)
Moje pytanie, czy istnieje sposób by mając dwa ciągi określone wzorami wygenerować ciąg zwracający te wyrazy które się powtarzają?

W omówiony przypadku nietrudno zauważyć, że tym ciągiem będzie ciąg \(\displaystyle{ c_{x}}\), gdzie \(\displaystyle{ c_{1} = 6 \wedge r = 6}\).
Jednak chciałbym odnaleźć ogólny sposób na "wygenerowanie" wzoru ciągu \(\displaystyle{ c_{x}}\),
inny niż ten by odnaleźć pierwsze dwa wyrazy powtarzające się i z nich wydedukować \(\displaystyle{ c_{1} = 6 \wedge r = 6}\).
Proszę o wskazówki:)

2)
Czy ciąg arytmetyczny można traktować jako funkcję której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych?

3)
Jeżeli dobrze rozumiem ciągi to numer wyrazu musi być określony liczbą naturalną.
Niektórzy matematycy do zbioru liczb naturalnych zaliczają 0, na Wikipedii jest napisane o ciągach:
Każdej liczbie naturalnej i jest przyporządkowywany tylko jeden element, oznaczany zwykle \(\displaystyle{ a_{i}}\).
Czy może istnieć wyraz \(\displaystyle{ a_{0}}\) czy też należy uściślić że chodzi o liczby naturalne dodatnie?

123qwerty123 pisze:2) Czy ciąg arytmetyczny można traktować jako funkcję której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych?

Każdy ciąg to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych.

123qwerty123 pisze:3) Jeżeli dobrze rozumiem ciągi to numer wyrazu musi być określony liczbą naturalną.

Przy standardowym rozumieniu pojęcia "ciąg" - tak.

123qwerty123 pisze:Czy może istnieć wyraz \(\displaystyle{ a_{0}}\) czy też należy uściślić że chodzi o liczby naturalne dodatnie?

To bez znaczenia. Ciągi można numerować od zera bądź od jedynki - to zależy, jak się umówimy.

JK

4)
Skro ciąg jest funkcją określoną dla argumentów będących liczbami naturalnymi to czy to oznacza że ta funkcja nie jest różniczkowalna gdyż jest określona w punkcie ale już nie w obustronnym otoczeniu tego punktu?

Rozpatrywanie różniczkowalności w kontekście ciągu nie ma sensu.

JK

Witam

Ponownie mierze się z zadaniem przedstawionym w poście pierwszym.
Niestety nie zrobiłem wielkiego postępu.

Ciąg pierwszy ma wzór: \(\displaystyle{ a _{n} = 2n}\)
Ciąg drugi ma wzór: \(\displaystyle{ a _{n} = 3n}\)

Z obserwacji poczynionych wcześniej można łatwo stwierdzić że wzór opisujący wyrazy wspólne w tych ciągach to \(\displaystyle{ c _{n} = 6n}\)

Teraz pytanie jak dojść do tych \(\displaystyle{ c _{n} = 6n}\)
Jedyne co mi przyszło do głowy to zapisanie tych dwóch ciągów jako funkcji liniowych określonych na zbiorze liczb naturalnych i wymnożenie współczynników kierunkowych tych funkcji na zasadzie "bo tak" jednak to nie jest to o co mi chodzi.
Wiem że wspólne są dla obu ciągów wielokrotności liczby 6 lecz nie wiem jak to wyliczyć .

Naprawdę zależy mi na rozwiązaniu tego problemu,proszę o wskazówki gdyż obawiam się jednak że bez popchnięcia z waszej strony będę nadal błądził po omacku.

Pozdrawiam

Oznaczmy te ciągi w ten sposób:

\(\displaystyle{ a_{n}=2n}\)
\(\displaystyle{ a_{k}=3k}\)

Chcesz, żeby: \(\displaystyle{ a_{n}=a_{k}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ 2n=3k}\)
\(\displaystyle{ n= \frac{3}{2}k}\)
To czego szukasz to po prostu rozwiązania takiego równania. Oczywiście \(\displaystyle{ n,k \in \NN}\)

Witam

Autorze, znam inna metodę która może Ciebie zadowolić, nazywa się ona Metodą Róznic Skończonych.
Szybkie wprowadzenie, te wyrazy "które się powtarzają" można ustawić w pewien ciąg a MRS pozwala znaleźć wzór/porządek rządzący tymi liczbami.
Sprawa jest prosta, należy sprawdzić o ile róznią sie kolejne wyrazy tego ciągu który badasz.
Gdy masz ciąg \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5......}\) to z pewnościa wiesz co będzie dalej, nieświadomie sprawdziłeś o ile róznią się wyrazy tego ciągu, różnią się o 1 zatem wiesz że kolejną liczbą będzie 6 potem 7 itd.

Podobnie jest z Twoim problemem, masz liczby \(\displaystyle{ 6,12,18...}\), sam się zorientowałeś że są to wielokrotności liczby 6.
Nie będę przedstawiał tutaj tej metody, gdyż źródłe w internecie jest dość, wystarczy kliknąć

Materiały:
- Method of Finite Differences
- Finite Differences and Polynomial
Polecam też książkę, "Matematyka nauką przyjemną" - Sawyer W.W - jest w wersji polskiej i omawiana jest tam MRS.

Pozdrawiam