Matematyka.pl

Mam wielomian \(\displaystyle{ -2x ^{3}+9x ^{2}-12x+4}\). Jak wyznaczyć pierwiastki wielomianu innym sposobem niż rozbijanie i grupowanie wyrazów?

Dzielnik wyrazu wolnego. Sprawdź \(\displaystyle{ x=2}\) .

Drugą metodą jest szukanie pierwiastków wymiernych postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) , gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego, natomiast \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

W tym wypadku \(\displaystyle{ p}\) może przyjmować wartości: \(\displaystyle{ -1, 1, -2, 2, -4, 4}\) .
Natomiast \(\displaystyle{ q}\) może przyjmować takie wartości: \(\displaystyle{ -1, 1, -2, 2}\) .

Jest sporo kombinacji. Teoretycznie trzeba sprawdzić wszystkie. W tym wypadku tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) zerują wielomian.

Dla uzupełnienia pierwszej metody, tam również teoretycznie powinno się sprawdzić wszystkie dzielniki całkowite, czyli: \(\displaystyle{ -1, 1, -2, 2, -4, 4}\). Benny01, podał zapewne tylko dwójkę, bo wiedział, że ona spełnia.

A jeśli wyraz wolny jest większą liczbą i ma za dużo dzielników żeby sprawdzać? Wtedy zostaje tylko grupowanie wyrazów?

Grupowanie wyrazów lub wzory skróconego mnożenia. Są jeszcze wzory Viète’a, ale stosowanie ich dla wielomianów większego stopnia niż drugiego raczej nie ma sensu.

Jmoriarty pisze:A jeśli wyraz wolny jest większą liczbą i ma za dużo dzielników żeby sprawdzać? Wtedy zostaje tylko grupowanie wyrazów?

W praktyce metodę grupowania wyrazów warto stosować tylko w przypadku dość "łatwych" wielomianów, które mają symetryczne współczynniki. Wielomiany, takie jak chociażby ten podany przez Ciebie w pierwszym poście nie dają się zbyt szybko pogrupować.
W takich przykładach szukamy pierwiastków całkowitych, a jeśli nie ma takich, to szukamy wymiernych.