Matematyka.pl

Mam za zadanie obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ z^2=xy}\) , \(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\).

Robiłem "rysunek" do tego tyle o ile można to zrobić: to będzie taki stożek eliptyczny ograniczony przez "nieskończony" walec o promieniu \(\displaystyle{ a}\). Przez symetrię można rozpatrywać przypadek gdy \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) a później te objętość wziąć razy 4.
Pierwsze moje pytanie czy dobrze napisałem że ta całka policzy mi objętość kawałka tej bryły dla \(\displaystyle{ x,y,z>0}\)?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{xy} \hspace{2mm} \dd y \dd x}\)
Drugie pytanie do jakiego doszedłem podczas liczenia tej całki po podstawieniu do współrzędnych biegunowych: Jak sobie poradzić z tym?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\sin 2\alpha} \hspace{2mm} \dd \alpha}\)
Z góry dzięki!

Obszar ograniczony z dołu i góry powierzchnią stożkową , z boków powierzchnią walca.

Ze względu na symetrię możemy obliczyć jedną czwartą objętości tego obszaru i pomnożyć przez \(\displaystyle{ 4.}\)

Obszar całkowania \(\displaystyle{ D}\) stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) częścią koła w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy.}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ |V| = 4\iint_{(D)} \sqrt{x\cdot y}dxdy.}\)

Przechodząc do współrzędnych biegunowych:

\(\displaystyle{ |V| = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{\frac{1}{2}}(\phi)\cos^{\frac{1}{2}}(\phi)\int_{0}^{a}\rho^2 d\rho d\phi .}\)

\(\displaystyle{ |V| = \frac{4}{3}a^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\frac{1}{2}}(\phi)\cos^{\frac{1}{2}}(\phi)d\phi.}\)

Ostatnią całkę nie możemy wyrazić przez funkcje elementarne.

Możemy ją wyrazić przez funkcję Gamma:

\(\displaystyle{ |V| = \frac{2a^3\Gamma^2 (\frac{3}{4})}{3\Gamma(\frac{3}{2})} = \frac{4a^3\Gamma^2(\frac{3}{4})}{3\sqrt{\pi}}.}\)

A więc do momentu gdzie dostałeś \(\displaystyle{ |V| = \frac{4}{3}a^3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{\frac{1}{2}}(\phi)\cos^{\frac{1}{2}}(\phi)d\phi.}\) widzę, że nasze rozwiązania są identyczne. Dalej ja się zaciąłem. Nie widzę specjalnie skąd tu wyskoczyła funkcja gamma... ale dziwi mnie fakt, że stosując dyfeomorfizm:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=r \cos^{2} \alpha\\y=r \sin^{2} \alpha\end{cases}}\)
zamiast współrzędnych biegunowych całka liczy się zupełnie prosto ale daje też zupełnie inny wynik a nie widzę błędu w obliczeniach. Jakiś pomysł co tu jest nie tak?

Z definicji funkcji \(\displaystyle{ \Gamma.}\) To nie jest dyfeomorfizm!

Nawet lokalnie na przedziale \(\displaystyle{ (0,\pi/2)}\)? Jacobian jest tam różny od zera. Co miałoby się psuć?

Psują kwadraty sinusa i kosinusa.