[MIX] Mix nietypowy
: 8 mar 2018, o 18:07
1. Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 50 \\ x^2 - y^2 + z^2 - t^2 = -24 \\ xy=zt \\ x - y +z - t =0. \end{cases}}\)
Wietnam
2. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) okrąg dopisany styczny jest do boku \(\displaystyle{ AC}\) (i do przedłużeń \(\displaystyle{ BA}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\)) w punkcie \(\displaystyle{ K.}\); \(\displaystyle{ M}\) jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ BK}\) i okręgu wpisanego, zaś \(\displaystyle{ D}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ M}\) na bok \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnić ze \(\displaystyle{ AK = DC}\).
3. Wskazać przykład funkcji różniczkowalnej \(\displaystyle{ f}\) i takiej że \(\displaystyle{ f^{\prime}}\) nie jest ciągła.
4. Na spotkaniu \(\displaystyle{ 2n}\) osób każdy ma co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) wrogów. Czy można ich usadzić przy okrągłym stole by nikt nie siedział obok swego wroga ?
5. Niech dane będą trzy liczby takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}a \geq 1 \\ b \geq 2 \\ c \geq 3 \end{cases}}\).
Udowodnić, iż \(\displaystyle{ abc \geq a+b+c}\).
6. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów wymiernych średniobocznych.
7. Noe ma umieścić na arce osiem gatunków zwierząt w czterech zagrodach, przy czym chce wykorzystać wszystkie zagrody. Jednak dla każdego gatunku istnieją co najwyżej trzy inne gatunki, z którymi nie może on dzielić zagrody. Udowodnić, że można rozmieścić zwierzęta w zagrodach w ten sposób, aby każdy gatunek był w zagrodzie z odpowiednimi dla siebie innymi gatunkami.
8. Mamy na stole dwie potasowane talie po \(\displaystyle{ n}\) kart każda (na każdej karcie w talii napisana jest jedna z liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\)). Wykładamy równocześnie po jednej karcie z obu talii dopóki nie wylosuje się tej samej liczby. Ile średnio kart wyłożone będzie na stół ?
9. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 3^{x-1} = \frac{x+1}{3-x}}\).
10. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-y-2)^2 = 9x \\ x=0 \\ y=0 \end{cases}}\)
11. Udowodnić, że istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ f: \RR^2 \to \RR^8}\) które nie jest izometrią, ale takie, że gdy dowolne punkty płaszczyzny są odległe o \(\displaystyle{ 1}\) to ich obrazy też są odległe o \(\displaystyle{ 1}\).
12. Na kartce narysowano figurę o polu \(\displaystyle{ 11}\). Kartkę złożono wielokrotnie i otrzymano kwadrat o polu \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że można przekłuć szpilką złożoną kartkę tak, by figura została przekłuta w co najmniej jedenastu miejscach.
tw. Blichfelda
13. Jaka jest największa liczba \(\displaystyle{ n}\) o tej własności, że istnieją wypukłe środkowo-symetryczne wielościany \(\displaystyle{ W, W_1,..., W_n}\) z których każdy jest przesunięciem wielościanu \(\displaystyle{ W}\) mającym z nim punkt wspólny, zaś \(\displaystyle{ W_1,..., W_n}\) mają rozłączne wnętrza ?
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 50 \\ x^2 - y^2 + z^2 - t^2 = -24 \\ xy=zt \\ x - y +z - t =0. \end{cases}}\)
Wietnam
2. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) okrąg dopisany styczny jest do boku \(\displaystyle{ AC}\) (i do przedłużeń \(\displaystyle{ BA}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\)) w punkcie \(\displaystyle{ K.}\); \(\displaystyle{ M}\) jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ BK}\) i okręgu wpisanego, zaś \(\displaystyle{ D}\) jest rzutem punktu \(\displaystyle{ M}\) na bok \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnić ze \(\displaystyle{ AK = DC}\).
3. Wskazać przykład funkcji różniczkowalnej \(\displaystyle{ f}\) i takiej że \(\displaystyle{ f^{\prime}}\) nie jest ciągła.
4. Na spotkaniu \(\displaystyle{ 2n}\) osób każdy ma co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) wrogów. Czy można ich usadzić przy okrągłym stole by nikt nie siedział obok swego wroga ?
5. Niech dane będą trzy liczby takie, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}a \geq 1 \\ b \geq 2 \\ c \geq 3 \end{cases}}\).
Udowodnić, iż \(\displaystyle{ abc \geq a+b+c}\).
6. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele trójkątów wymiernych średniobocznych.
7. Noe ma umieścić na arce osiem gatunków zwierząt w czterech zagrodach, przy czym chce wykorzystać wszystkie zagrody. Jednak dla każdego gatunku istnieją co najwyżej trzy inne gatunki, z którymi nie może on dzielić zagrody. Udowodnić, że można rozmieścić zwierzęta w zagrodach w ten sposób, aby każdy gatunek był w zagrodzie z odpowiednimi dla siebie innymi gatunkami.
8. Mamy na stole dwie potasowane talie po \(\displaystyle{ n}\) kart każda (na każdej karcie w talii napisana jest jedna z liczb ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\)). Wykładamy równocześnie po jednej karcie z obu talii dopóki nie wylosuje się tej samej liczby. Ile średnio kart wyłożone będzie na stół ?
9. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 3^{x-1} = \frac{x+1}{3-x}}\).
10. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-y-2)^2 = 9x \\ x=0 \\ y=0 \end{cases}}\)
11. Udowodnić, że istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ f: \RR^2 \to \RR^8}\) które nie jest izometrią, ale takie, że gdy dowolne punkty płaszczyzny są odległe o \(\displaystyle{ 1}\) to ich obrazy też są odległe o \(\displaystyle{ 1}\).
12. Na kartce narysowano figurę o polu \(\displaystyle{ 11}\). Kartkę złożono wielokrotnie i otrzymano kwadrat o polu \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że można przekłuć szpilką złożoną kartkę tak, by figura została przekłuta w co najmniej jedenastu miejscach.
tw. Blichfelda
13. Jaka jest największa liczba \(\displaystyle{ n}\) o tej własności, że istnieją wypukłe środkowo-symetryczne wielościany \(\displaystyle{ W, W_1,..., W_n}\) z których każdy jest przesunięciem wielościanu \(\displaystyle{ W}\) mającym z nim punkt wspólny, zaś \(\displaystyle{ W_1,..., W_n}\) mają rozłączne wnętrza ?