Matematyka.pl

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli drugą z nich zwiększymy o 8, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli trzeci wyraz otrzymanego ciągu arytmetycznego zwiększymy o 64, to znów otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Niech \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) ciąg geometryczny. Wówczas na podstawie treści zadania i równości związanych z ciągami otrzymujemy następujący układ trzech równości:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b^{2}=ac \\(b+8)= \frac{a+c}{2} \\ (b+8)^{2}=a(c+64) \end{array}}\)

Jak w prosty sposób rozwiązać ten układ równań?

Chyba nie ma bardzo prostego sposobu.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b^{2}=ac \\(b+8)= \frac{a+c}{2} \\ b^2+16b+64=ac+64a \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} b^{2}=ac \\(b+8)= \frac{a+c}{2} \\ b=4a-4 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} (4a-4)^2=ac \\(4a+4)= \frac{a+c}{2} \\ b=4a-4 \end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} (4a-4)^2=ac \\c=7a+8 \\ b=4a-4 \end{array}}\)

Pozostaje rozwiązać pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ (4a-4)^2=a(7a+8)}\)

PS
Radziłbym sprawdzić czy wyliczona trójka (a,b,c) spełnia warunki zadania.