Równanie jednorodne drugiego rzędu - związek rozwiązań

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
konop857
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 8 paź 2016, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PowiatMo

Równanie jednorodne drugiego rzędu - związek rozwiązań

Post autor: konop857 » 5 mar 2018, o 22:30

Witam

Na zajęciach, a później w internecie dowiedziałem się że rozwiązanie równania drugiego stopnia jednorodnego o stałych współczynnikach jest postaci:

\(\displaystyle{ y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ y(t) = e^{rt}}\)

Wszędzie podane są gotowe wzory na rozwiązania w zależności od delty:

\(\displaystyle{ y = C _{1}e^{r_{1}t} + C _{2}e^{r_{2}t} \ dla \ \Delta > 0\\ y = C _{1}e^{rt} + C _{2}te^{rt} \ dla \ \Delta = 0\\ y = e^{at}(C_{1}\sin(bt) + C_{2}\cos(bt)) \ dla \ \Delta < 0}\)

Lecz o ile pierwsza zależność jest logiczna (ze względu na pierwszy wzór), to jak można dojść do ostatniej postaci (dla liczb zespolonych)?
Próbując podstawić pierwiastki równania w postaci urojonej tj.

\(\displaystyle{ r_{1} = a + bi\\ r_{2} = a - bi}\)

do pierwszego równania, otrzymuje równanie trzecie tylko przy założeniu że

\(\displaystyle{ A = C_{1} + C_{2} \\ B = i(C_{1} - C_{2})}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to nowe stałe przy \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\).

Natomiast na zajęciach, prowadzący uzyskał równanie trzecie z pierwszego, przy założeniu że

\(\displaystyle{ A = 2C_{1}\\ B = 2C_{2}}\)

co wydaje się być bardziej naturalne, lecz osiągalne jest tylko przy założeniu że przy \(\displaystyle{ e^{rt}}\) stoją sprzężone ze sobą stałe w postaci zespolonej (załączam fotografie)

\(\displaystyle{ r_{1} = a +bi\\ r_{2} = a - bi\\ x(t) = C_{1}e^{(a + bi)t} + C_{2}e^{(a - bi)t}\\ x(t) = (C_{1} + C_{2}i)e^{(a + bi)t} + (C_{1} - C_{2}i)e^{(a - bi)t}\\ x(t) = (C_{1} + C_{2}i)e^{at}e^{ibt} + (C_{1} - C_{2}i)e^{at}e^{-ibt}\\ x(t) = e^{at}((C_{1} + C_{2}i)e^{ibt} + (C_{1} - C_{2}i)e^{-ibt})\\ e^{+/-ix} = \cos x +/- i\sin x\\ x(t) = e^{at}(2C_{1}\cos bt - 2C_{2}\sin bt\\ x(t) = e^{at}(A\cos bt + B\sin bt)\\ x(t) = e^{at}C\sin (bt + F)}\)
Czy jest to poprawne? Zakładamy że stałe są dowolne, więc dlaczego mielibyśmy zakładać że są to sprzężone ze sobą liczby.

Dziękuję i pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 6 mar 2018, o 16:19 przez konop857, łącznie zmieniany 4 razy.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie jednorodne drugiego rzędu - związek rozwiązań

Post autor: janusz47 » 6 mar 2018, o 11:44

W przypadku wyróżnika \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby zespolone:

\(\displaystyle{ r_{1} = a + bi, \ \ r_{2} = a - bi.}\)

Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej \(\displaystyle{ t}\) postaci :

\(\displaystyle{ x^{*}_{1}(t)= e^{(a +bi)t}, \ \ x^{*}_{2}(t) = e^{(a- ib)t}}\)

są więc całkami równania:

\(\displaystyle{ x''(t) + px'(t) + qx(t) =0}\) (1)

Na podstawie wzoru Eulera mamy:

\(\displaystyle{ x^{*}_{1}(t) = e^{at}(\cos(bt) + i\sin(bt))}\)

Na mocy twierdzenia:

" Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ \omega(t) = u(t) + iv(t)}\) jest całką równania (1) z rzeczywistymi współczynnikami \(\displaystyle{ p, q}\) w przedziale \(\displaystyle{ (a, b),}\) to jej część rzeczywista \(\displaystyle{ u(t)}\) i jej część urojona \(\displaystyle{ v(t)}\) są także całkami tego równania w przedziale \(\displaystyle{ (a, b)}\)"

funkcje:

\(\displaystyle{ x_{1}(t) = e^{at}\sin(bt), \ \ x_{2}(t) = e^{at}\cos(bt)}\)

są także całkami równania (1).

Całki te stanowią układ podstawowy całek, ponieważ utworzony z nich Wrońskian:

\(\displaystyle{ W(t) = be^{2at} \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ t}\) (proszę sprawdzić).

Funkcja \(\displaystyle{ x(t) = e^{at}[C_{1}\cos(bt) + C_{2}\sin(bt)]}\)

przedstawia więc w przypadku \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) rozwiązanie ogólne równania (1).-- 6 mar 2018, o 15:05 --Panie Kraszewski dlaczego pokazując swoją władzę na Forum poprawia Pan po raz kolejny identycznie napisane przeze mnie posty, obrażając mnie nieumiejętnością pisania w Tex?
Ostatnio zmieniony 6 mar 2018, o 13:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

konop857
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 8 paź 2016, o 18:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PowiatMo

Równanie jednorodne drugiego rzędu - związek rozwiązań

Post autor: konop857 » 6 mar 2018, o 16:31

Dziękuję za odpowiedź, przytoczone twierdzenie rzeczywiście wyjaśnia w pewien sposób genezę rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej.
Poprawiłem swój post tak że już widać rozwiązanie które miałem na zajęciach, ponieważ dalej ciekawi mnie czy jest ono poprawne.
Zna Pan może jakieś twierdzenie lub zasadę, na mocy której podstawianie pod stałe liczb sprzężonych ma jakiś sens?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie jednorodne drugiego rzędu - związek rozwiązań

Post autor: janusz47 » 6 mar 2018, o 21:27

Jak widzimy liczby \(\displaystyle{ \lambda_{1}= a +ib, \ \ \lambda_{2} = a -ib}\) są sprzężonymi liczbami zespolonymi.

Wtedy ze wzoru Eulera:

\(\displaystyle{ e^{\lambda_{1}t} = e^{at}[\cos(bt) + i\sin(bt)],}\)

\(\displaystyle{ e^{\lambda_{2}t} = e^{at}[\cos(bt) - i\sin(bt)].}\)

Zamiast zespolonych funkcji \(\displaystyle{ e^{\lambda_{1}t}, \ \ e^{\lambda_{2}t}}\) możemy rozważać rzeczywiste funkcje, które otrzymujemy jako ich kombinacje liniowe:

\(\displaystyle{ e^{at}\cos(bt) = \frac{1}{2}\left( e^{\lambda_{1}t}+ e^{\lambda_{2}t}\right),}\)

\(\displaystyle{ e^{at}\sin(bt) = \frac{1}{2i}\left( e^{\lambda_{1}t}- e^{\lambda_{2}t}\right),}\)

Podstawiając do naszego równania, otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci:

\(\displaystyle{ x(t) = C_{1}e^{at}\cos(bt) + C_{2}e^{at}\sin(bt)}\) (1)

gdzie:

\(\displaystyle{ a = -\frac{\overline{b}}{2\overline{a}}, \ \ b = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2\overline{a}}.}\)

Z postaci (1) możemy przejść na tak zwaną postać amplitudową rozwiązania:

\(\displaystyle{ x(t) = Ae^{at}\sin(bt + \phi)}\)

wygodną do analizy drgań. W tym celu wyłączamy \(\displaystyle{ C_{1}}\) przed nawias i podstawiamy \(\displaystyle{ \frac{C_{2}}{C_{1}}= \ctg(\phi).}\)

ODPOWIEDZ