Matematyka.pl

Mam zadanie:
Skończony ciąg arytmetyczny (\(\displaystyle{ a _{n}}\)) ma nieparzystą liczbę wyrazów. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(\displaystyle{ 165}\), a suma wyrazów o nieparzystych numerach równa jest \(\displaystyle{ 88}\). Z ilu wyrazów składa się ciąg (\(\displaystyle{ a _{n}}\)) ?

Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ S _{n} =165}\)
\(\displaystyle{ x}\)-liczba wyrazów parzystych
\(\displaystyle{ y}\)- liczba wyrazów nieparzystych
\(\displaystyle{ y=x+1}\)
\(\displaystyle{ x+1+x=2x+1}\)- liczba wszystkich wyrazów

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów:

\(\displaystyle{ 165= \frac{a _{1}+a _{2x+1} }{2} \cdot (2x+1)}\)

\(\displaystyle{ 88= \frac{a _{1} +a _{x+1} }{2} \cdot (x+1)}\)

Mam prośbę o dalsze wskazówki do rozwiązania tego zadania.

Z góry dziękuję!

Ania_0905 pisze: Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ S _{n}=165}\)
\(\displaystyle{ x}\)-liczba wyrazów parzystych
\(\displaystyle{ y}\)- liczba wyrazów nieparzystych
\(\displaystyle{ y=x+1}\)
\(\displaystyle{ x+1+x=2x+1}\)- liczba wszystkich wyrazów

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów:

\(\displaystyle{ 165= \frac{a _{1}+a _{2x+1} }{2} \cdot (2x+1)}\)

\(\displaystyle{ 88= \frac{a _{1} +a _{x+1} }{2} \cdot (x+1)}\)

Mam prośbę o dalsze wskazówki do rozwiązania tego zadania.

Z góry dziękuję!

\(\displaystyle{ S _{n}= \frac{2a_1+(n-1)r}{2}n =165}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{n-1}{2}}\)-liczba wyrazów parzystych
\(\displaystyle{ y=\frac{n+1}{2}}\)- liczba wyrazów nieparzystych
Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów:
\(\displaystyle{ 165= \frac{2a _{1}+(y-1)2r }{2} \cdot (y)}\)
\(\displaystyle{ 88= \frac{2(a _{1}+r) +(x-1)2r }{2} \cdot (x)}\)

Można to zadanie rozwiązać znacznie prościej, jeśli się zauważy, że
jeśli wyrazy to \(\displaystyle{ a_1, \ldots a_{2k+1}}\), to różnica między sumą wyrazów o nieparzystych indeksach a sumą wyrazów o parzystych indeksach, którą jak wiemy z treści jest \(\displaystyle{ 11=165-88}\), wynosi dokładnie tyle, co \(\displaystyle{ a_{k+1}}\).
Czyli
\(\displaystyle{ a_{k+1}=11}\)
Z drugiej strony \(\displaystyle{ a_{k+1}}\) jest środkowym wyrazem w tym ciągu, zatem spełnia:
\(\displaystyle{ (2k+1)a_{k+1}=165}\), ponieważ (łatwy i przydatny fakt) jeśli w skończonym ciągu arytmetycznym mamy wyraz środkowy, to jest on równy średniej arytmetycznej wszystkich wyrazów.

W zadaniu nie ma niestety najważniejszej informacji: czy numerowane wyrazów zaczyna się od numeru parzystego czy nieparzystego. To uniemożliwia poprawne rozwiązanie.

No fakt. To jest zadanie na poziomie szkolnym, a tam (tj. w szkole) prawie zawsze się numeruje od \(\displaystyle{ 1}\), a nie od \(\displaystyle{ 0}\) czy od czegoś tam innego, więc widocznie przyjęto taką konwencję jako domyślną. Szczerze powiedziawszy nie widziałem zadania z matury itd. w którym numerowano by wyrazy ciągu inaczej niż poczynając od jedynki (nie znaczy to, że takich nie ma).

Ojej, miało być \(\displaystyle{ 88-77}\), a idea rozwiązania jest całkowicie poprawna. No ale dziękuję za zwrócenie uwagi.

Albo w ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów:

\(\displaystyle{ a_{k+1} = \frac{S_{n}}{n}.}\)

\(\displaystyle{ 11 = \frac{165}{n}, \ \ n =15.}\)

Przecież to jest to samo, co zaproponowałem wyżej.

Jeśli założymy, że \(\displaystyle{ n = 2k+1,}\) to będzie to samo, a nie jest to samo. Ponadto ilość wyrazów ciągu \(\displaystyle{ n}\) nie zależy od tego czy ciąg zaczyna się od wyrazu o numerze parzystym czy od wyrazu o numerze nieparzystym. W tym zadaniu zależy nam, aby zawierał nieparzystą ilość wyrazów \(\displaystyle{ n\geq 3.}\)

Nie ilość wyrazów, tylko liczbę wyrazów, poza tym jeśli \(\displaystyle{ n\neq 2k+1}\), to to, co napisałeś, w żaden sposób nie wiąże się z zadaniem, założyłem więc, że miałeś na myśli coś sensownego, a nie coś bezsensownego. Coś jeszcze?

Jeżeli ilość wyrazów jest nieparzysta, to ostatni wyraz \(\displaystyle{ a_n}\) jest taki sam dla całego ciągu i dla ciągu wyrazów o numerach nieparzystych.
Ilość wyrazów o numerach nieparzystych jest \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2} +1= \frac{n+1}{2}}\)
stąd

\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_n}{2}n=165}\)
\(\displaystyle{ \frac{a_1+a_n}{2} \frac{n+1}{2} =88}\)

stąd

\(\displaystyle{ \frac{165}{n} \frac{n+1}{2} =88}\)

\(\displaystyle{ n=15}\)

Nie należy tuszować swojej błędnej odpowiedzi "liczbą", a nie ilością wyrazów ciągu. Bo to jest śmieszne!

Jesteś tępy, co pokazujesz prawie każdym postem i nie przeproszę za te gorzkie słowa prawdy. Napisałem, że przyjąłem, iż Twoja wypowiedź ma jakiś sens, a nie że nie ma, bo tak się składa, że nie określiłeś nawet, jaka jest w Twojej wypowiedzi relacja między \(\displaystyle{ n}\) a \(\displaystyle{ k}\), więc była to wypowiedź co najmniej nieskładna, w dodatku niewnosząca żadnej nowej idei do wątku. Poza tym nie tylko zwróciłem Ci uwagę na błąd językowy, więc pisanie, że próbuję coś tuszować jest co najmniej głupotą. Jedyny mój błąd w tym wątku to nieopatrzne napisanie \(\displaystyle{ 165-88=11}\) zamiast \(\displaystyle{ 88-77=11}\), to było zwykłe przeoczenie, za którego zauważenie podziękowałem.

Po raz kolejny ostrzegam przed obrażaniem!

Z równania:

\(\displaystyle{ (2k+1) a_{k+1} = 165}\) co wynika?

Sprawdźmy!

\(\displaystyle{ (2k+1)\cdot 11 = 165}\)

\(\displaystyle{ (2k+1) = \frac{165}{11} = 15.}\)

\(\displaystyle{ 2k+1 = 15, \ \ k = 7.}\)

Chyba, że ciąg ma nieparzystą ilość wyrazów i założymy \(\displaystyle{ n = 2k+1 = 2\cdot 7 + 1 = 15.}\)