Matematyka.pl

Bardzo proszę o poradę.
Zastanawiam się nad rozwiązanie tego typu zadania:

Resztą z dzielenia pewnej liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) jest \(\displaystyle{ 5}\). Wykaż, że resztą z dzielenia kwadratu liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) jest \(\displaystyle{ 1}\).

Na mocy podanych informacji można przyjąć, że \(\displaystyle{ n : 6 = a\ r\ 5}\), skąd \(\displaystyle{ n=6 \cdot a+5}\) (\(\displaystyle{ a, n}\) - liczby całkowite).

Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (6a+5)^{2}=36a^{2}+60a+25}\)

Następnie przyjmujemy, że
\(\displaystyle{ (36a^{2}+60a+25):6=b}\) \(\displaystyle{ r}\) \(\displaystyle{ 1}\), skąd \(\displaystyle{ 36a^{2}+60a+25=6 \cdot b+1}\) (\(\displaystyle{ b}\) - liczba całkowita).

\(\displaystyle{ 6 \cdot b = 36a^{2}+60a+24}\)

\(\displaystyle{ b=(36a^{2}+60a+24):6}\)

\(\displaystyle{ b=6a^{2}+60a+4}\)

Wyrażenie \(\displaystyle{ 6a^{2}+60a+4}\) przyjmuje wartość całkowitą dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), zatem możemy stwierdzić, że reszta z dzielenia kwadratu liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

niuka_25 pisze:Następnie przyjmujemy, że
\(\displaystyle{ (36a^{2}+60a+25):6=b}\) \(\displaystyle{ r}\) \(\displaystyle{ 1}\), skąd \(\displaystyle{ 36a^{2}+60a+25=6 \cdot b+1}\) (\(\displaystyle{ b}\) - liczba całkowita).

A na jakiej podstawie, jeśli można wiedzieć?

JK

Zakładamy to na podstawie treści zadania?

Tak?

To, co napisałaś, to założenie tezy - rzecz, której zdecydowanie NIE NALEŻY robić.

JK

A jeśli sformułowałabym to w następujący sposób, to czy byłoby to poprawnie?

Niech n będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5. Wtedy istnieje liczba całkowita a taka, że \(\displaystyle{ n=6 \cdot a+5}\).

Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ (6a+5)^{2}=36a^{2}+60a+25}\).

Możemy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 36a^{2}+60a+25=6 \cdot (6a^{2}+60a+4)+1}\).

Wyrażenie \(\displaystyle{ 6a^{2}+60a+4}\) przyjmuje wartość całkowitą dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), zatem możemy stwierdzić, że reszta z dzielenia kwadratu liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 6}\) jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

Tak jest OK.

JK

Dziękuję bardzo!
Można byłoby jeszcze poprosić o sprawdzenie następujących zadań?

430592.htm

430593.htm