Matematyka.pl

Zastanawiam się nad rozwiązanie pewnego zadania. Czy poniższe uzasadnienie jest wystarczające, a zarazem poprawne matematycznie? Proszę o opinię na ten temat.

Resztą z dzielenia pewnej liczby \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ 3}\) jest \(\displaystyle{ 2}\). Wykaż, że jeśli do kwadratu liczby \(\displaystyle{ n}\) dodamy \(\displaystyle{ 2}\), to otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).

Na mocy podanych informacji można przyjąć, że \(\displaystyle{ n:3=a\ r\ 2}\), skąd \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\) (\(\displaystyle{ a, n}\) - liczby naturalne).
Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększonym o \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2=9a^{2}+12a+4+2=9a^{2}+12a+6=3(3a^{2}+4a+2)}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3(3a^{2}+4a+2)}\), co oznacza, że kwadrat liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększony o \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).

Bardzo dobrze

Zastanawiam się, czy nie potrzeba przyjąć innego założenia, jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ n}\).
Czy \(\displaystyle{ a, n}\) mają być faktycznie liczbami naturalnymi, całkowitymi, czy może jedna z nich powinna być naturalna, natomiast druga całkowita. Czy może jeszcze inaczej należy przyjąć? Proszę o poradę . . .

Zadanie nie precyzuje, czy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, czy całkowitą, więc założenie, że jest liczbą naturalną nie jest nadużyciem. Wówczas również \(\displaystyle{ a}\) jest naturalna i jest w porządku (ale gdybyś napisała, że istnieje całkowite \(\displaystyle{ a}\), to byłoby tak samo dobrze).

Oczywiście zawsze można postarać się zrobić dowód w największej możliwej ogólności, czyli dla \(\displaystyle{ n}\) całkowitego. Wtedy trzeba zaznaczyć, że istnieje \(\displaystyle{ a}\) całkowite o stosownej własności.

JK

Dziękuję za informację. W takim razie przyjmę, że \(\displaystyle{ a, n}\) - liczby całkowite, zwłaszcza, że dla liczb ujemnych również możemy wykonywać dzielenie z resztą.

Dokładniej: przyjmujesz, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą i dla tej liczby stwierdzasz (na podstawie treści zadania) istnienie liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) takiej, że \(\displaystyle{ n=3a+2}\).

JK

Czyli początek zadania powinien być sformułowany następująco?

Przyjmujemy, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą całkowitą i dla tej liczby stwierdzamy (na podstawie treści zadania) istnienie liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\) takiej, że \(\displaystyle{ n:3=a\ r\ 2}\), skąd \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\).

Ja bym napisał

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2.}\)

JK

Czyli w takim razie poniższe rozwiązanie jest ostateczne i poprawne?

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą całkowitą, która przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2}\). Wtedy istnieje liczba liczba całkowita \(\displaystyle{ a}\) taka, że \(\displaystyle{ n=3 \cdot a+2}\).
Zapisujemy wyrażenie będące kwadratem liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększonym o \(\displaystyle{ 2}\):
\(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2=9a^{2}+12a+4+2=9a^{2}+12a+6=3(3a^{2}+4a+2)}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ (3a+2)^{2}+2}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3(3a^{2}+4a+2)}\), co oznacza, że kwadrat liczby \(\displaystyle{ n}\) powiększony o \(\displaystyle{ 2}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).

Jest OK.

JK

Dziękuję bardzo!-- 4 mar 2018, o 21:55 --Czyli tutaj w takim razie na samym końcu po przecinku można dopisać "do należało dowieść"?