1.Jak wykazać, że w dowolnym n-kącie wypukłym ilość przekątnych wynosi: \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
2. jak wykazać, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta wypukłego wynosi: \(\displaystyle{ (n-2)\cdot 180^{\circ}}\)
[ Dodano: 29 Września 2007, 17:39 ]
da się to zrobić indukcyjnie?
przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie
Jak chcesz możesz indukcyjnie, spróbujmy jednak bez indukcji:
1) Rysujesz n-kąt. Jak wiadomo n-kąt ma n wierzchołków. Z każdego wierzchołka możesz przeprowadzić (n-3) przekątnych, ponieważ nie możesz przeprowadzić przekątnej do tego samego wierzchołka, nie możesz też do dwóch innych wierzchołków leżących na jednym boku z tym wierzchołkiem. Pamiętajmy też, że przekątna poprowadzona z X do Y to przekątna poprowadzona z Y do X. Więc nasz wzór będzie wynosił:
\(\displaystyle{ n (n-3) :2=\frac{n(n-3)}{2}}\)
2) Rysujesz n-kąt. Obierasz we wnętrzu tego n-kąta dowolny punkt X i łączysz go z każdym wierzchołkiem n-kąta. Łączna suma kątów w otrzymanych trójkątach wynosi n*180°, ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180° (jak chcesz to też możesz dowieść). Ale suma kątów wewnętrznych n-kąta jest łączną sumą kątów tych trójkątów odjąć kąt pełny będący sumą kątów przy wierzchołku X. Suma kątów w n-kącie wynosi więc:
\(\displaystyle{ 180^{\circ}n-360^{\circ}=180^{\circ}(n-2)}\)
1) Rysujesz n-kąt. Jak wiadomo n-kąt ma n wierzchołków. Z każdego wierzchołka możesz przeprowadzić (n-3) przekątnych, ponieważ nie możesz przeprowadzić przekątnej do tego samego wierzchołka, nie możesz też do dwóch innych wierzchołków leżących na jednym boku z tym wierzchołkiem. Pamiętajmy też, że przekątna poprowadzona z X do Y to przekątna poprowadzona z Y do X. Więc nasz wzór będzie wynosił:
\(\displaystyle{ n (n-3) :2=\frac{n(n-3)}{2}}\)
2) Rysujesz n-kąt. Obierasz we wnętrzu tego n-kąta dowolny punkt X i łączysz go z każdym wierzchołkiem n-kąta. Łączna suma kątów w otrzymanych trójkątach wynosi n*180°, ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180° (jak chcesz to też możesz dowieść). Ale suma kątów wewnętrznych n-kąta jest łączną sumą kątów tych trójkątów odjąć kąt pełny będący sumą kątów przy wierzchołku X. Suma kątów w n-kącie wynosi więc:
\(\displaystyle{ 180^{\circ}n-360^{\circ}=180^{\circ}(n-2)}\)
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2007, o 17:48 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 399
- Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 82 razy
przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie
dzięki robin5hood.
Sylwek, w taki sposób geometryczny też próbowałem, lecz nie ukrywam, ze bardziej chodzi mi o dowód indukcyjny. Teraz pozostało tylko drugie zadanie.
Sylwek, w taki sposób geometryczny też próbowałem, lecz nie ukrywam, ze bardziej chodzi mi o dowód indukcyjny. Teraz pozostało tylko drugie zadanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie
Drugie:
Spr. sprawdzasz czy wzór jest prawdziwy dla trójkąta (oczywiście jest )
Zał. W k-kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa \(\displaystyle{ (k-2) 180^\circ}\)
Teza W (k+1)-kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa \(\displaystyle{ ((k+1)-2) 180^\circ}\)
Dowód:
Rysujesz dowolny k-kąt i następnie dodajesz jeden bok lub, co na jedno wychodzi, z jednego boku robisz dwa i wykazujesz, że suma miar kątów wzrosła o \(\displaystyle{ 180^\circ}\).
Trochę tak ciężko wytłumaczyć bez rysunku, ale w razie problemów pytaj
Spr. sprawdzasz czy wzór jest prawdziwy dla trójkąta (oczywiście jest )
Zał. W k-kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa \(\displaystyle{ (k-2) 180^\circ}\)
Teza W (k+1)-kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa \(\displaystyle{ ((k+1)-2) 180^\circ}\)
Dowód:
Rysujesz dowolny k-kąt i następnie dodajesz jeden bok lub, co na jedno wychodzi, z jednego boku robisz dwa i wykazujesz, że suma miar kątów wzrosła o \(\displaystyle{ 180^\circ}\).
Trochę tak ciężko wytłumaczyć bez rysunku, ale w razie problemów pytaj
-
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 399
- Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 82 razy
przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie
Z n-kąta staje się (n+1)-kątem poprzez dorysowanie do jednego z boków n-kąta trójkąta. Na przykladzie z 6-kąta do 7-kąta.
[/url]
czyli tak
1° dla n=3
180°=(3-2)180°
2°
zał. ind.
\(\displaystyle{ (n-2)180^{\circ}}\)
teza ind.
\(\displaystyle{ ((n+1)-2)180^{\circ}}\)
dowód indukcyjny.
\(\displaystyle{ (n-2)180^{\circ}+180^{\circ}=(n-1)180^{\circ} \\ L=P}\)
c.n.d.
dzięki Wam za zainteresowanie i pomoc.
[/url]
czyli tak
1° dla n=3
180°=(3-2)180°
2°
zał. ind.
\(\displaystyle{ (n-2)180^{\circ}}\)
teza ind.
\(\displaystyle{ ((n+1)-2)180^{\circ}}\)
dowód indukcyjny.
\(\displaystyle{ (n-2)180^{\circ}+180^{\circ}=(n-1)180^{\circ} \\ L=P}\)
c.n.d.
dzięki Wam za zainteresowanie i pomoc.