przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: Kris-0 » 29 wrz 2007, o 17:38

1.Jak wykazać, że w dowolnym n-kącie wypukłym ilość przekątnych wynosi: \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)

2. jak wykazać, że suma miar kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta wypukłego wynosi: \(\displaystyle{ (n-2)\cdot 180^{\circ}}\)

[ Dodano: 29 Września 2007, 17:39 ]
da się to zrobić indukcyjnie?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: Sylwek » 29 wrz 2007, o 17:44

Jak chcesz możesz indukcyjnie, spróbujmy jednak bez indukcji:

1) Rysujesz n-kąt. Jak wiadomo n-kąt ma n wierzchołków. Z każdego wierzchołka możesz przeprowadzić (n-3) przekątnych, ponieważ nie możesz przeprowadzić przekątnej do tego samego wierzchołka, nie możesz też do dwóch innych wierzchołków leżących na jednym boku z tym wierzchołkiem. Pamiętajmy też, że przekątna poprowadzona z X do Y to przekątna poprowadzona z Y do X. Więc nasz wzór będzie wynosił:
\(\displaystyle{ n (n-3) :2=\frac{n(n-3)}{2}}\)

2) Rysujesz n-kąt. Obierasz we wnętrzu tego n-kąta dowolny punkt X i łączysz go z każdym wierzchołkiem n-kąta. Łączna suma kątów w otrzymanych trójkątach wynosi n*180°, ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180° (jak chcesz to też możesz dowieść). Ale suma kątów wewnętrznych n-kąta jest łączną sumą kątów tych trójkątów odjąć kąt pełny będący sumą kątów przy wierzchołku X. Suma kątów w n-kącie wynosi więc:
\(\displaystyle{ 180^{\circ}n-360^{\circ}=180^{\circ}(n-2)}\)
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2007, o 17:48 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: robin5hood » 29 wrz 2007, o 17:46


Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: Kris-0 » 29 wrz 2007, o 19:14

dzięki robin5hood.
Sylwek, w taki sposób geometryczny też próbowałem, lecz nie ukrywam, ze bardziej chodzi mi o dowód indukcyjny. Teraz pozostało tylko drugie zadanie.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: luka52 » 29 wrz 2007, o 19:35

Drugie:

Spr. sprawdzasz czy wzór jest prawdziwy dla trójkąta (oczywiście jest )

Zał. W k-kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa \(\displaystyle{ (k-2) 180^\circ}\)

Teza W (k+1)-kącie suma miar kątów wewnętrznych jest równa \(\displaystyle{ ((k+1)-2) 180^\circ}\)

Dowód:
Rysujesz dowolny k-kąt i następnie dodajesz jeden bok lub, co na jedno wychodzi, z jednego boku robisz dwa i wykazujesz, że suma miar kątów wzrosła o \(\displaystyle{ 180^\circ}\).
Trochę tak ciężko wytłumaczyć bez rysunku, ale w razie problemów pytaj

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: robin5hood » 29 wrz 2007, o 19:37

odnosnie 2 to dowód jest tu
http://www.kurssikory.pl/contents/pliki ... 015_v3.pdf

Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

przekątne i suma miar katów wenętrznych w n-kącie

Post autor: Kris-0 » 29 wrz 2007, o 20:01

Z n-kąta staje się (n+1)-kątem poprzez dorysowanie do jednego z boków n-kąta trójkąta. Na przykladzie z 6-kąta do 7-kąta.


czyli tak
1° dla n=3
180°=(3-2)180°



zał. ind.
\(\displaystyle{ (n-2)180^{\circ}}\)
teza ind.
\(\displaystyle{ ((n+1)-2)180^{\circ}}\)
dowód indukcyjny.
\(\displaystyle{ (n-2)180^{\circ}+180^{\circ}=(n-1)180^{\circ} \\ L=P}\)
c.n.d.
dzięki Wam za zainteresowanie i pomoc.

ODPOWIEDZ