Równanie różniczkowe z wartościami własnymi

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
marek22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 3 mar 2018, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowe z wartościami własnymi

Post autor: marek22 » 3 mar 2018, o 16:32

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu zadania którego treść brzmi następująco:
Znajdź rozwiązanie szczególne jednorodnego, liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach jeżeli znane są jego wartości własne \(\displaystyle{ s_1,s_2,s_3}\) oraz warunki początkowe:

\(\displaystyle{ y(0)= x{_0}}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=0}\) przy \(\displaystyle{ t=0}\),

\(\displaystyle{ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0}\) przy \(\displaystyle{ t=0}\).

Będę wdzięczny za każde sugestię na temat sposobu rozwiązania tego zadania
Ostatnio zmieniony 13 mar 2018, o 20:36 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14148
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Równanie różniczkowe z wartościami własnymi

Post autor: Premislav » 3 mar 2018, o 19:31

Rozwiązanie ogólne tego równania jest więc postaci
\(\displaystyle{ x(t)=C_1 \cdot e^{s_1 t}+C_2\cdot e^{s_2 t}+C_3\cdot e^{s_3 t}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\) to stałe i wystarczy podstawić taką funkcję do warunków początkowych, co da nam układ trzech prostych równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ C_1, \ C_2, \ C_3}\).

Ewentualnie jeśli np. \(\displaystyle{ s_1=s_2}\), to trochę inaczej wygląda rozwiązanie ogólne, ale nie jestem pewien, czy należy rozważać i taką sytuację.

marek22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 3 mar 2018, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowe z wartościami własnymi

Post autor: marek22 » 13 mar 2018, o 19:58

równanie różniczkowe ma postać
\(\displaystyle{ a \cdot y'''+b \cdot y''+c \cdot y'+dy=0}\)

\(\displaystyle{ y(0)= x_{0}}\)

\(\displaystyle{ y'(0)=0}\)

\(\displaystyle{ y''(0)=0}\)

\(\displaystyle{ r_{1}= s_{1}}\)

\(\displaystyle{ r_{2}= s_{2}}\)

\(\displaystyle{ r_{3}= s_{3}}\)
Ostatnio zmieniony 13 mar 2018, o 20:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol pochodnej używaj bez indeksu górnego. Symbol mnożenia to \cdot.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: równanie różniczkowe z wartościami własnymi

Post autor: janusz47 » 13 mar 2018, o 21:21

Zakładamy, że \(\displaystyle{ s_{1}\neq s_{2}\neq s_{3}.}\)

Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy układ równań na \(\displaystyle{ C_{1}, C_{2}, C_{3}.}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}C_{1}+C_{2}+C_{3}= x_{0}\\ s_{1}C_{1}+s_{2}C_{2}+s_{3}C_{3} = 0 \\ s^2_{1}C_{1}+s^2_{2}C_{2} + s^2_{3}C_{3}=0 \end{cases}.}\)

Proszę wyznaczyć rozwiązanie układu stosując wzory Cramera i wstawić do rozwiązania ogólnego podanego przez Premislava.

ODPOWIEDZ