Matematyka.pl

Witam, bardzo potrzebuje pomocy w takim zadaniu: Obliczyć całke

\(\displaystyle{ \int_{[-2,2]}^{} ([x]+1)\mu(dx)}\) jeżeli \(\displaystyle{ \mu(B) = l_{1}(B) + \zeta_{0}(B)}\)

dla \(\displaystyle{ B \in \beta (R)}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, z czego korzystać. Przyznam że teoria miar jest dla mnie strasznie ciężkim przedmiotem
byłoby świetnie gdyby ktoś mógł to rozwiązać albo chociaż jakaś wskazówka jak to ogarnąć.

Bardzo dziękuje!

Jeżeli miara jest sumą miar, to całka rozbija się na sumę całek:
\(\displaystyle{ \int_{[-2,2]} ([x]+1) \, \mu(\mathrm{d}x) = \int_{[-2,2]} ([x]+1) \, l_1(\mathrm{d}x) + \int_{[-2,2]} ([x]+1) \, \delta_0 (\mathrm{d}x).}\)

Domyślam się, że ta druga miara to miała być delta Diraca. I teraz każdą całkę liczymy osobno. Zauważ, że funkcja \(\displaystyle{ [x]+1}\) jest funkcją prostą, więc całkę względem miary Lebesgue'a liczysz z definicji.

Druga całka:
\(\displaystyle{ \int_{[-2,2]} ([x]+1) \, \delta_0 (\mathrm{d}x) = \int_{[-2,2] \setminus \{0\}} ([x]+1) \, \delta_0 (\mathrm{d}x) + \int_{\{ 0 \}} ([x]+1) \, \delta_0 (\mathrm{d}x).}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ \delta_0 ([-2,2] \setminus \{0\}) = 0}\), więc pierwsza całka jest całką po zbiorze miary zero, więc jest zerowa.
Druga zaś:
\(\displaystyle{ \int_{\{ 0 \}} ([x]+1) \, \delta_0 (\mathrm{d}x) = \int_{\{ 0 \}} 1 \, \delta_0 (\mathrm{d}x) = 1 \cdot \delta_0 (\{0\}) = 1 \cdot 1 = 1.}\)