Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe...

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe...

Post autor: Daumier » 29 wrz 2007, o 16:27

Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe \(\displaystyle{ f}\) takie, że dla każdej liczby rzeczywistej\(\displaystyle{ x}\) zachodzi warunek:

\(\displaystyle{ f(x+1) - f(x) = 8x + 3}\)

Proszę o pomoc, od czego zacząć
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe...

Post autor: soku11 » 29 wrz 2007, o 16:33

\(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c\\
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c\\
a(x^2+2x+1)+bx+b+c-ax^2-bx-c=8x+3\\
ax^2+2ax+a+bx+b+c-ax^2-bx-c=8x+3\\
2ax+a+b=8x+3\\
\begin{cases} 2a=8\\a+b=3\end{cases} \\
\begin{cases} a=4\\b=-1\end{cases} \\
f(x)=4x^2-x+c\ \ c\in\mathbb{R}\\}\)



POZDRO

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe...

Post autor: Piotr Rutkowski » 29 wrz 2007, o 16:38

Niech \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c-ax^{2}-bx-c=2ax+a+b=8x+3}\)
z tego mamy, że:
\(\displaystyle{ 2a=8}\)
\(\displaystyle{ a+b=3}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ f(x)=4x^{2}-x+c}\), dla \(\displaystyle{ c\in R}\)

ODPOWIEDZ