Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Post autor: Daumier » 29 wrz 2007, o 15:42

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej daje przy dzieleniu przez 4 resztę 0 lub 1.

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Post autor: Sylwek » 29 wrz 2007, o 15:46

Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ (a+2)^2 \equiv a^2+4a+4 \equiv a^2 \ (mod \ 4)}\)

Więc wystarczy rozpatrzeć jakie reszty z dzielenia przez 4 dają dwie kolejne liczby całkowite, np. 0 i 1:
\(\displaystyle{ 0^2 \equiv 0 \ (mod \ 4) \\ 1^2 \equiv 1 \ (mod \ 4)}\)

Co było do udowodnienia

Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Post autor: Daumier » 29 wrz 2007, o 16:15

Co to jest "mod" i co to jest ten "potrójny" znak równości ? Nie da się zrobić tego na poziomie trochę "łatwiejszym" ?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Post autor: Piotr Rutkowski » 29 wrz 2007, o 16:25

Są to kongruencje (poczytaj sobie o tym w kompendium i tak, da się to zrobić łatwiej:
niech \(\displaystyle{ a\in Z}\), a więc mozna a przedstawić jako:
\(\displaystyle{ a=4k}\) I przypadek
\(\displaystyle{ a=4k+1}\) II przypadek
\(\displaystyle{ a=4k+2}\) III przypadek
\(\displaystyle{ a=4k+3}\) IV przypadek
teraz:
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k)^{2}=16k^{2}=4(4k^{2})}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k+1)^{2}=16k^{2}+8k+1=4*(4k^{2}+2k)+1}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k+2)^{2}=16k^{2}+16k+4=4*(4k^{2}+4k+1)}\)
\(\displaystyle{ a^{2}=(4k+3)^{2}=16k^{2}+24k+9=4*(4k^{2}+6k+2)+1}\)
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2007, o 16:40 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.

Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Post autor: Daumier » 29 wrz 2007, o 16:36

Tam przy "trzeciej" a, tzn. 4k + 2, na końcu powinno być + 0, a nie + 1

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że kwadrat liczby całkowitej...

Post autor: Piotr Rutkowski » 29 wrz 2007, o 16:40

tak, tak, już poprawiam

ODPOWIEDZ