Matematyka.pl

Witam

Mam do wykazania że pewne wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego.
Problematycznym wyrażeniem jest:
\(\displaystyle{ k \cdot (k+1) \cdot (k+9) \cdot (k^2-1)}\)

Wiem że aby wykazać podzielność muszę całość doprowadzić do postaci \(\displaystyle{ 5 \cdot [wyrazenie]}\) czyli uzyskać pewne (znów) wyrażenie takie że czynnik przed każdą potęgą można zapisać jako \(\displaystyle{ 5 \cdot n}\), potem tę \(\displaystyle{ 5}\) wyciągnąć i powinno pstryknąć.
Łatwiej pisać niż zrobić, próbowałem wszystko wymnożyć ale uzyskałem taki wielomian że nie sposób wyciągnąć piątki przed nawias tak jak planowałem.

Forumowicze, potrzebuję innego pomysłu rachunkowego, czy możecie coś zasugerować?

Pozdrawiam

123qwerty123 pisze:Mam do wykazania że pewne wyrażenie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) rzeczywistego.
Problematycznym wyrażeniem jest:
\(\displaystyle{ k \cdot (k+1) \cdot (k+9) \cdot (k^2-1)}\)

Z takim zadaniem to ja też miałbym problem. Ale jeśli ograniczymy się do \(\displaystyle{ k}\) naturalnych (lub całkowitych), to coś da się wymyślić.

123qwerty123 pisze:Forumowicze, potrzebuję innego pomysłu rachunkowego, czy możecie coś zasugerować?

Rozpatrz kilka przypadków ze względu na to, jaką resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) daje liczba \(\displaystyle{ k}\).

JK

Teza zadania jest fałszywa (nawet po zastąpieniu rzeczywistych naturalnymi), rozważmy \(\displaystyle{ k=7}\).

Nie wczytywałem się, ale to zadanie jest łudząco podobne do tego \(\displaystyle{ \rightarrow}\)klik.-- 25 lut 2018, o 15:28 --oczywiście po uwzględnieniu poprawek Jan Kraszewski i Premislava.

Czyli prawdopodobnie źle przepisane, miało być \(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\). Zaproponuję w takim razie rozwiązanie bez indukcji: zauważmy, że
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)=\\=k\left( k+1\right)\left( k-1+10\right)\left( k ^{2}-4+5 \right)=\\=10k(k+1)(k^2+1)+5(k-1)k(k+1)+(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}\)
i wszystkie trzy składniki są podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\) (dwa pierwsze w sposób oczywisty, trzeci jako iloczyn kolejnych pięciu liczb całkowitych), co kończy dowód.

Można też ostatecznie machaniem rękami tak jak w szkole mnie uczyli czyli
1) niech \(\displaystyle{ k=5m+1}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
2) niech \(\displaystyle{ k=5m+2}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
itd.

I po kolei wstawiasz to tego poprawionego przez Premislava równania:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\)
Potem mnożysz ten koszmar i wyciągasz 5 przed nawias.
Choć z kongruencji będzie dużo sprawniej

Rafsaf a żeby nie robić tego dla \(\displaystyle{ 1)}\) potem \(\displaystyle{ 2)}\) i tak dalej... można spróbować podstawić \(\displaystyle{ k=5m+r}\) gdzie \(\displaystyle{ r\in\left\{ 0,1,2,3,4\right\}}\) i powinno być widać że niezależnie od \(\displaystyle{ r}\) zachodzi teza. Więc 5 przypadków sprowadzimy do jednego ogólniejszego. Ale nie liczyłem więc może coś po drodze wyskoczy niespodziewanego. Trzeba wstawić i policzyć.

Rafsaf pisze:Można też ostatecznie machaniem rękami tak jak w szkole mnie uczyli czyli
1) niech \(\displaystyle{ k=5m+1}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
2) niech \(\displaystyle{ k=5m+2}\) i \(\displaystyle{ m \in C}\)
itd.

I po kolei wstawiasz to tego poprawionego przez Premislava równania:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)}\)
Potem mnożysz ten koszmar i wyciągasz 5 przed nawias.

Ale po co?! Wstawianie to najgorsza możliwa realizacja tej metody. W każdym z przypadków wystarczy wskazać, który czynnik iloczynu jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\):

Dla \(\displaystyle{ k=5m}\) podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\) jest czynnik \(\displaystyle{ k}\).
Dla \(\displaystyle{ k=5m+1}\) podzielny przez \(\displaystyle{ 5}\) jest czynnik \(\displaystyle{ k+9}\).
itd.

JK

Z odrobiną teorii można sobie poradzić jeszcze szybciej:
\(\displaystyle{ k\left( k+1\right)\left( k+9\right)\left( k ^{2}+1 \right)=k(k^2+10k+9)(k^2+1)=\\=k(k^2-1+10k+10)(k^2+1)=k(k^4-1)+{\red 10}k(k+1)(k^2+1)}\)
i jeśli \(\displaystyle{ 5\nmid k}\), to z małego tw. Fermata \(\displaystyle{ 5|k^4-1}\), zaś suma liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 5}\), a jeśli \(\displaystyle{ 5|k}\), to teza jest oczywista.

Jan Kraszewski przyznaję że po zastanowieniu moja podpowiedź by to mnożyć jest beznadziejna, pewnie bym to sam sobie uświadomił gdybym robił to na kartce a tak w głowie to widać jak wygląda moje rozwiązywanie zadań z matematyki...

Słusznie piszecie, źle przepisałem, dział to liczby rzeczywiste a \(\displaystyle{ k}\) ma być całkowite.
Dziękuje za odpowiedzi, zabieram się za analizę tego co napisaliście:)