Matematyka.pl

17. Wyznacz wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=mx ^{2}+mx+1}\) jest zawarty w przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ; 5\rangle}\)

\(\displaystyle{ mx ^{2} +mx+1<5}\)

Czy to będzie takie równanie?

21. Wyznacz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) wykresy funkcji \(\displaystyle{ f(x)=(m+2)x+1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=(m+1)x ^{2}+x+2m}\) mają jeden punkt wspólny.

Czy należy przyrównać jedną funkcję do drugiej?

Tajemniczy59 pisze:17.Wyznacz wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=mx ^{2}+mx+1}\) jest zawarty w przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ; 5\rangle}\)

\(\displaystyle{ mx ^{2} +mx+1<5}\)

Czy to będzie takie równanie?

Taka nierówność? Nie.
a) Musisz znaleźć takie ujemne \(\displaystyle{ m}\) (bo taki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\)) dla którego równanie
\(\displaystyle{ mx ^{2} +mx+1=5}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
b)
Musisz znaleźć takie ujemne \(\displaystyle{ m}\) (bo taki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\)) przy którym rzędna wierzchołka wynosi \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m<0 \\ \frac{-\Delta}{4m} =5 \end{cases}}\)

Tajemniczy59 pisze:21.Wyznacz dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) wykresy funkcji \(\displaystyle{ f(x)=(m+2)x+1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=(m+1)x ^{2}+x+2m}\) mają jeden punkt wspólny.

Czy należy przyrównać jedną funkcję do drugiej?

Tak, oraz wyznaczyć takie \(\displaystyle{ m}\) przy którym uzyskane równanie ma tylko jedno rozwiązanie.

Dziękuje za pomoc.

17. Zacznij od tego, że parabola \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) musi mieć "wąsy" w dół, a to oznacza, że współczynnik \(\displaystyle{ a}\) musi być........
Jeśli tak, to ta funkcja musi mieć maksimum, którym jest wierzchołek paraboli. Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ y_{max}=5}\). Jak zapewne wiesz, współrzędne wierzchołka paraboli \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) są takie

\(\displaystyle{ p= .......}\)

\(\displaystyle{ q= .......}\)

A jeśli to wiesz, to z łatwością ustalisz wartoci parametru \(\displaystyle{ m}\)

kerajs pisze: Taka nierówność? Nie.
a) Musisz znaleźć takie ujemne m (bo taki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\)) dla którego równanie
\(\displaystyle{ mx ^{2} +mx+1=5}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie
b)
Musisz znaleźć takie ujemne m (bo taki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\)) przy którym rzędna wierzchołka wynosi 5
\(\displaystyle{ \begin{cases} m<0 \\ \frac{-\Delta}{4m} =5 \end{cases}}\)

Obraz ma być zawarty w zbiorze \(\displaystyle{ (-\infty,5]}\) a nie równy temu zbiorowi, wiec podpowiedzi kerajsa nie rozwiązują zadania

Rozwiążesz zadanie jeżeli pokażesz dla jakich \(\displaystyle{ m}\) spełnine będą takie warunki:
1) \(\displaystyle{ m<0}\) (wyjaśnij dlaczego), oraz
2) rónanie \(\displaystyle{ mx^2+mx+1=5}\) ma co najwyżej jedno rozwiązanie.

Tajemniczy59 pisze:17.Wyznacz wartości parametru m, dla których zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=mx ^{2}+mx+1}\) jest zawarty w przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ; 5>}\)

1. Wąsy paraboli muszą być w dół, zatem \(\displaystyle{ m<0}\)

2. \(\displaystyle{ y_{\max }=5}\), a więc muszą być dwa pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \Delta>0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=m^2-4m>0 \\ m(m-4)> 0 \ \Leftrightarrow \ m \in ( - \infty , 0) \cup (4, \infty)}\)

Ale z powodu 1. drugi przedział odrzucamy.

Współrzędna igrekowa wierzchołka paraboli ma być równa 5

\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta}{4a}= - \frac{m^2-4m}{4m}=5}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{4}(m-4)=5}\)

\(\displaystyle{ m=-16}\)

Sprawdźmy:

\(\displaystyle{ y=-16x^2-16x+1}\)

Wykres tej paraboli rozwieje wszelkie wątpliwości.

A kto powiedział, że \(\displaystyle{ x_{\max } =5}\)?

Wszystko zależy od interpretacji słowa zawarty w zdaniu: zbiór wartości funkcji ... jest zawarty w przedziale... . Ja, i Dilectus mimo Twojej uwagi, potraktowałem je jako jest równy, a nie jest podzbiorem. Która interpretacja jest słuszna? Książkowa odpowiedź może na to odpowiedzieć choć lepiej przyznać że: zadanie jest niejednoznacznie sformułowane i nie powinno w tej formie pojawić się na maturze.

Dla jest podzbiorem, czyli sugerowanego przez a4karo rozwiązania, należy jeszcze dołożyć \(\displaystyle{ m=0}\) (bo zbiór wartości stałej funkcji liniowej jest jednoelementowym podzbiorem podanego przedziału).

Pojęcie "być podzbiorem zbioru" jest jasno określone i nie znaczy "równać się zbiorowi".

Natomiast zadanie i tak jest nieściśle sformułowane, ale z nieco innego powodu. Mianowicie powinno być
„Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których…"
W przeciwnym razie można podać np. jakiekolwiek dwie wartości, dla których warunki zadania będą spełnione i domagać się maksymalnej liczby punktów (tzn. nie radzę tak robić na maturze, mimo wszystko).

wartości \(\displaystyle{ f(x) \in (- \infty ,5\rangle \Rightarrow f(x) \le 5 \Rightarrow f(x)-5 \le 0}\)

przejście na inną funkcję \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-5}\)

\(\displaystyle{ g(x) \le 0}\)

kiedy taka nierówność jest zawsze spełniona?
dla:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta \le 0 \\ a<0 \end{cases} \vee \begin{cases} a=0 \\ c \le 0 \end{cases}}\)

co ostatecznie wskazuje nam szukaną wartość parametru \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ m\in \left\langle -16,0 \right\rangle}\)