Matematyka.pl

Na pionowo wiszącej sprężynie zawieszono ciężarek, co spowodowało wydłużenie sprężyny o \(\displaystyle{ l = 9.8cm}\). Ciężarek wprawiono w drgania, odciągając go w dół i puszczając. Jaką wartość powinien mieć współczynnik tłumienia aby drgania ustały po \(\displaystyle{ 10s}\)? Przy jakich założeniach rozwiążesz to zadanie?
Proszę o pomoc! Jak podejść do takiego zadania?

Układamy i rozwiązujemy równanie różniczkowe zwyczajne, liniowe II rzędu - jednorodne oscylatora drgań tłumionych.

Uwzględniamy warunki początkowe:

\(\displaystyle{ t = 0, \ \ x(0)= 9,8\cdot 10^{-2}m , \ \ x'(0) = 0 \frac{m}{s}.}\)

Rozpatrujemy przypadek, zespolonych pierwiastków równania charakterystycznego (opór ośrodka jest niewielki).

Uwzględniamy warunek końcowy:

\(\displaystyle{ t = 10 s. \ \ x(10) = 0,}\)

z którego obliczamy wartość współczynnika tłumienia.

Coś mi niestety nadal nie wychodzi. Po podstawieniu warunków początkowych dzieją się dziwne rzeczy:
\(\displaystyle{ x(t)=Re^{-\beta t}\cos{\left(\sqrt{\omega _0^2-\beta ^2}t}\right)}\)
\(\displaystyle{ x(0)=9.8\cdot 10^2=R}\)
\(\displaystyle{ x'(t)=-\beta e^{-\beta t}\cos{\left(\sqrt{\omega _0^2-\beta ^2}t}\right)-Re^{-\beta t}\sin{\left(\sqrt{\omega _0^2-\beta ^2}t}\right)\sqrt{\omega _0^2-\beta ^2}}\)
\(\displaystyle{ x'(0)=0=-R\beta}\)
Wychodzi że współczynnik tłumienia jest równy zero, a tak chyba nie powinno być. Co robię nie tak?

Proszę poprawić obliczenie pochodnej \(\displaystyle{ x'(t).}\)

Fakt, że \(\displaystyle{ x(10)=0}\) nie oznacza, że drgania ustaną po \(\displaystyle{ 10}\) sek. Takim warunkiem byłoby \(\displaystyle{ x'(10)=0}\), ale wiadomo, że rozwiązania równania drgań nie mają rozwiązań, które byłyby stałe od pewnego miejsca. Trzeba zatem określić co to znaczy (z punktu widzenia praktycznego), że drgania ustały.

janusz47 pisze:Proszę poprawić obliczenie pochodnej \(\displaystyle{ x'(t).}\)

A co jest z nią nie tak? Coś źle policzyłam?

\(\displaystyle{ x'(t) = -\beta Re^{-\beta t}\cos(\sqrt{(\omega^2_{0} -\beta^2) }t) -\sqrt{\omega^2_{0}-\beta^2}\cdot R e^{-\beta T}\sin(\sqrt{(\omega^2_{0}-\beta^2)}t).}\)

Proszę zwrócić uwagę, że jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ \beta << \omega_{0},}\) to

\(\displaystyle{ x(t) = Re^{-\beta t}\cos(\omega t +\phi)}\)

i jedynym efektem tłumienia jest zmniejszenie się amplitudy drgań z upływem czasu.