Wykazać równość #2

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazać równość #2

Post autor: bah » 29 wrz 2007, o 14:50

Muszę wykazać równość: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} =2^n}\). Wykorzystuję wzór newtona [\(\displaystyle{ x=y=1}\)], lecz nie wiem czy tak jest dobrze.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Wykazać równość #2

Post autor: Sylwek » 29 wrz 2007, o 15:07

Chyba dobrze myślisz, ale nie jestem pewny Twojego zapisu . Dwumian Newtona to:
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k}\)

Zapiszmy to w odwrotnej kolejności:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k=(a+b)^n}\)

Niech a=1 oraz b=1:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n{n \choose k}=(1+1)^n=2^n}\)

Co było do udowodnienia

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Wykazać równość #2

Post autor: Piotr Rutkowski » 29 wrz 2007, o 16:16

Albo jeszcze inaczej. Z definicji \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) to liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Skoro sumujemy liczbę podzbiorów 0-elementowych, 1-elementowych,..., n-elementowych, to otrzymujemy liczbę wszystkich podzbiorów naszego zbioru n-elementowego, czyli dokładnie \(\displaystyle{ 2^{n}}\)

ODPOWIEDZ