Równanie postaci r. Schrodingera dla cząstki swobodnej

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Addiw777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 22 lut 2018, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Równanie postaci r. Schrodingera dla cząstki swobodnej

Post autor: Addiw777 » 22 lut 2018, o 19:43

Sprawdzałem w pierwszym temacie tego działu i nie znalazłem rozwiązania dokładnie takiego samego
równania różniczkowego, a mianowicie równania postaci równania Schroedingera dla cząstki swobodnej. Nie wiem gdzie popełniam błąd, ale nie dostaję postaci rozwiązania, której bym się spodziewał.

Równanie do rozwiązania:
\(y'' = a^{2}\cdot y\)

gdzie \(y = y(x)\)
OK, no to przyjmuję, że istnieje funkcja \(u(y)\) taka, że:
\(y' = u(y)\),
a więc
\(y'' = u\cdot \frac{du}{dy}\)
czyli
\(u\cdot\frac{du}{dy} = a^{2}y\)

Rozwiązuję to równanie i dostaję
\(u^{2} = a^{2}\cdot y^{2} + C\)
Wówczas chcę to podstawić do drugiej zależności, którą zapisałem, więc:
\(\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{a^{2}y^{2} +C}\)

No i rozwiązanie tego równania daje mi kompletnie inną postać niż to co "ma wyjść". Gdzie robię błąd?
Ostatnio zmieniony 22 lut 2018, o 21:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol pochodnej zapisujemy bez indeksu górnego.

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1098
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina

Równanie postaci r. Schrodingera dla cząstki swobodnej

Post autor: Benny01 » 22 lut 2018, o 19:53

\(y''-a^2y=0 \\ y=e^{rt} \\ r^2-a^2=0 \\ r=a \vee r=-a \\ y=C_1e^{-at}+C_2e^{at}\)
Ostatnio zmieniony 22 lut 2018, o 21:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Addiw777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 22 lut 2018, o 19:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Równanie postaci r. Schrodingera dla cząstki swobodnej

Post autor: Addiw777 » 22 lut 2018, o 19:55

OK, ale to jest takie rozwiązanie przez zgadnięcie, prawda? A jak tą metodą, którą chcę zastosować?

Zauważyłem, że jeśli w wyrażeniu
\(u^{2} = a^{2}y^{2} + C\)

pominę stałą C, to dostanę wynik, które się spodziewam. Ale dlaczego miałbym ją zaniedbać?
Nie mam żadnych warunków początkowych, które by mi na to pozwalały.

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1098
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina

Równanie postaci r. Schrodingera dla cząstki swobodnej

Post autor: Benny01 » 22 lut 2018, o 20:11

Addiw777 pisze:OK, ale to jest takie rozwiązanie przez zgadnięcie, prawda?
Nieprawda
Zauważyłem, że jeśli w wyrażeniu
\(u^{2} = a^{2}y^{2} + C\)

pominę stałą C, to dostanę wynik, które się spodziewam. Ale dlaczego miałbym ją zaniedbać?
Nie mam żadnych warunków początkowych, które by mi na to pozwalały.
Ja zauważyłem, że bez pominięcia stałej wynik jest taki sam.

ODPOWIEDZ