Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Velitus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 13:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górowo Iławieckie
Podziękował: 12 razy

Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).

Post autor: Velitus » 29 wrz 2007, o 14:47

Witam,
Bardzo bym prosil o pewna wskazowke co do zadania, badz rozwiazanie go:

Wykaz, ze jesli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) sa liczbami dodatnimi, takimi, ze \(\displaystyle{ a\geqslant b}\), to:

\(\displaystyle{ \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=2\sqrt{b}}\)


Z gory dziekuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 1 paź 2007, o 19:29 przez Velitus, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Udowodnij równość (pierwiastki, kwadraty).

Post autor: Sylwek » 29 wrz 2007, o 15:15

Pamiętając o wzorach skróconego mnożenia, zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}\)

Analogicznie z minusem, więc:
\(\displaystyle{ L=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}-\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}-\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}= \\ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=}\)

A korzystając z założeń zadania, tzn że liczby są dodatnie i a nie jest mniejsza od b, to:
\(\displaystyle{ =|\sqrt{a}+\sqrt{b}|-|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}=2\sqrt{b}=P}\)

ODPOWIEDZ