Trudna suma

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
sebmasta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Trudna suma

Post autor: sebmasta » 29 wrz 2007, o 14:44

Na początku chciałbym przywitać wszystkich na forum - dzień dobry Mam nadzieję, że nie pomylilem działów, jesli tak to przepraszam i proszę o przeniesienie, moją pierwszą prośbą jest rozwiązanie tego zadania, z uzasadnieniem Pozdrawiam
Oblicz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}:}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mmonika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 24 wrz 2007, o 18:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 3 razy

Trudna suma

Post autor: mmonika » 29 wrz 2007, o 15:20

pomnóż każdy z ułamków przez jego sprzężenie (dla a+b sprzężenie to a-b np. dla 4-5 sprzeżenie to 4+5). Wtedy w mianowniku wszędzie będzie -1, a liczniki w wiekszości Ci się uproszczą.

sebmasta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Trudna suma

Post autor: sebmasta » 29 wrz 2007, o 15:31

Prosiłem o dokładniejsze wyjaśnienie, na jakiej zasadzie liczniki sie skrócą? chodzi o o to ze w mianowniku wzor skroconego mnozenia wykorzystamy ale wtedy na gorze bede mial dziwne wartosci...

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Trudna suma

Post autor: Sylwek » 29 wrz 2007, o 15:41

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{1})}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})(\sqrt{2}-\sqrt{1})}=\sqrt{2}-\sqrt{1}}\)

Dostrzegasz analogię i wychodzi Ci, że ta suma jest równa:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \ldots + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=-\sqrt{1}+\sqrt{100}=-1+10=9}\)

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

Trudna suma

Post autor: Jestemfajny » 29 wrz 2007, o 15:45

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}*\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}+
\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}...}\)

w mianowniku zawsze zostaje Ci -1 a w liczniku rużnica więc po podzieleniu zostaje Ci:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}=-\sqrt{1}+\sqrt{2}}\)
idąc do końca tak, jak to zsumujemy zostaje Ci
\(\displaystyle{ \sqrt{100}-\sqrt{1}=9}\)

sebmasta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 8 wrz 2007, o 22:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Trudna suma

Post autor: sebmasta » 29 wrz 2007, o 15:55

Już rozumiem, dzięki wielkie

drabiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czw
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 2 razy

Trudna suma

Post autor: drabiu » 30 wrz 2007, o 13:30

a jak dochodzicie do tego ze to jest \(\displaystyle{ \sqrt{1} - \sqrt{100}}\)?

[ Dodano: 30 Września 2007, 13:31 ]
z jkaiego wzrou to ? na sumę szeregu ?

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

Trudna suma

Post autor: Jestemfajny » 30 wrz 2007, o 14:54

No chyba Kolego nie uważałeś, przeczytaj jeszcze raz moje wypowiedzi i Sylwka.
Zadnego wzoru na sume szeregu/ciągu tu nie ma.
a pozatym to nie:\(\displaystyle{ \sqrt{1}-\sqrt{100}}\) a:\(\displaystyle{ \sqrt{100}-\sqrt{1}}\)

drabiu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 58
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 22:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czw
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 2 razy

Trudna suma

Post autor: drabiu » 30 wrz 2007, o 16:53

no ale na jakiej zasadzie to sumujecie bo napewno nie recznie wszystkie wyrazy ?

[ Dodano: 30 Września 2007, 16:54 ]
a dobra sory za kłopoty dopeiro teraz to zauwazyłem to pewnie to przemęczenie :]

ODPOWIEDZ