Dwa równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Dwa równania różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 21:11

c) \(\displaystyle{ yy''-(y')^2 = 3y^2 y'}\)

\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)

\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

\(\displaystyle{ y(u' \cdot u)-u ^{2} = 3y^2 u / : u}\)

\(\displaystyle{ yu'-u=3y^2 /:y}\)

\(\displaystyle{ u'-{\frac{u}{y}}=3y}\)

\(\displaystyle{ u'={\frac{u}{y}}+3y}\)

Zawsze zatrzymuję się w tym miejscu i nie wiem co dalej...
c) \(\displaystyle{ x^2 y'' - (y')^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)

\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

\(\displaystyle{ x^2(u' \cdot u) - u^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ x^2u' \cdot u = u^2 / :u}\)

\(\displaystyle{ x^2u' = u /:x^2}\)

\(\displaystyle{ u' = {\frac{u}{x^2}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14159
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4640 razy

Re: Dwa równania różniczkowe

Post autor: Premislav » 21 lut 2018, o 21:27

\(\displaystyle{ yy''-(y')^2 = 3y^2 y'}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest tożsamościowo równa zeru, to spełnia równanie, w przeciwnym razie dzielimy równanie stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\) i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{yy''-(y')^2}{y^2}=3y'\\\left( \frac{y'}{y}\right)'=\left( 3y\right)'\\ \frac{y'}{y}=3y+C\\ y'=3y^2+Cy\\ \frac{y'}{3y^2+Cy}=1\\ \int_{}^{} \frac{\,\dd y}{3y^2+Cy}= \int_{}^{} \,\dd x}\)
i po lewej rozkład na ułamki proste.-- 21 lut 2018, o 21:33 --A ten drugi przykład coś Ci nie idzie, w dodatku już raz zwracałem w innym wątku uwagę, że źle liczysz i nie poprawiłaś się.
\(\displaystyle{ x^2 y'' - (y')^2 = 0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ u=y'}\), co daje:
\(\displaystyle{ x^2 u'-u^2=0\\ x^2u'=u^2\\ \int_{}^{} \frac{\,\dd u}{u^2}= \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{x^2}\\\frac{1}{u}=\frac{1}{x}+C\\ u=\frac{1}{\frac 1 x+C}\\ y'= \frac{x}{Cx+1}\\ \int_{}^{} \,\dd y= \int_{}^{} \frac{x}{Cx+1}\,\dd x\\ \ldots}\)

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Re: Dwa równania różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 21:41

Jeśli chodzi o:
\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)
\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

to facet na ćwiczeniach powiedział, że to wszystkich zadań z listy (którą nam dał) będzie to samo podstawienie, więc nie brałam pod uwagę innego. A pierwsze 2 przykłady robiliśmy na zajęciach.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14159
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 4640 razy

Re: Dwa równania różniczkowe

Post autor: Premislav » 21 lut 2018, o 21:44

Jeśli chodzi o:
\(\displaystyle{ y'= u(y)\\ y''=u' \cdot u}\)


to jest to bzdura (źle zróżniczkowane), którą już drugi raz wytknąłem, nie interesuje mnie, co powiedział facet na ćwiczeniach (może go źle zrozumiałaś), to jest niepoprawne, pokazałem powyżej, jak to można rozwiązywać. Więcej nie powtórzę.
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ