Układ fundamentalny równania różniczkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 20:14

Sprawdź czy podane funkcje tworzą w zadanym przedziale układ fundamentalny wskazanego równania różniczkowego.

a) \(y_1 = e^x\)
\(y_2 = e^{-2t}\)
\(R\) - rzeczywiste
\(y'' + y' - 2y = 0\)

Nie byłam na wykładzie. Nic z tego nie wiem. Także każda pomoc jest na wagę złota.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: szw1710 » 21 lut 2018, o 20:31

Masz sprawdzić, że obie funkcje spełniają równanie oraz ich wyznacznik Wrońskiego nie znika.

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 20:48

Wyznacznik Wrońskiego?

\(y = e^x\)
\(y' = e^x\)
\(y'' = e^x\)

\(e^x+e^x-2e^x=0\)
\(2e^x-2e^x=0\)
spełnia

\(y = e^{-2t}\)
\(y' = -2te^{-2t} \cdot (-2t)' = -2te^{-2t} \cdot (-2) = 4te^{-2t}\)
\(y'' = (4te^{-2t})'=4te^{-2t}\cdot (-2t)'=-8te^{-2t}\)
\(-8te^{-2t}+4te^{-2t}-2te^{-2t}=0\)
nie spełnia

nie tworzą?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: szw1710 » 21 lut 2018, o 21:01

Coś kiepsko różniczkujesz.
Wyznacznik Wrońskiego?
Inaczej wrońskian, choć nie znoszę tej nazwy.

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 21:26

\(\begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2t^{(-2t)} \end{vmatrix}\)

To całe równa się \(W(x)\) - nie wiem jak tu napisać macierz. Napisałam średnik, bo nie mam pojęcia jak zrobić by nie były tak blisko siebie.

\(=e^x \cdot (-2t^{(-2t)}) - e^x \cdot e^{(-2t)} = -3e^{(-2t+x)} \neq 0\)

Funkcje tworzą układ fundamentalny.

Koleżanka tak zrobiła... ?
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 22:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: szw1710 » 21 lut 2018, o 21:44

Ty nie patrz na koleżanki. Tak nie uprawia się matematyki. Ponadto mieszasz argumenty: \(x\) oraz \(t\). Co w końcu jest argumentem? Obie wskazane funkcje tworzą układ fundamentalny. Pierwszą sprawdziłaś poprawnie. Drugą - źle, więc popraw. No i policz wyznacznik Wrońskiego. Co ciekawe, pominąwszy mieszanie argumentów, wyznacznik Wrońskiego napisałaś poprawnie.

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 21:59

\(y = e^{-2t} \\ y' = -2e^{-2t} \\ y'' = 4e^{-2t}\)

\(4e^{-2t}-2e^{-2t}-2e^{-2t}=0\)
też spełnia

\(\begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2e^{(-2t)} \end{vmatrix}\)

\(= -3e^{(-2t+x)} \neq 0\)

Podane fun. tworzą w danym przedziale ukł. fundamentalny

-- 21 lut 2018, o 23:17 --

Teraz jest ok?
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a: \begin{vmatrix}, \end{vmatrix}.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24925
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Jan Kraszewski » 21 lut 2018, o 22:24

A to przeczytałaś?
szw1710 pisze:Ponadto mieszasz argumenty: \(x\) oraz \(t\). Co w końcu jest argumentem?
JK

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 22:57

Tak. Poprawiłam też pochodną, bo podejrzewam, że to tam był błąd: \(t\) zamiast \(e\) miałam.
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 23:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24925
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Jan Kraszewski » 21 lut 2018, o 23:51

Nie bardzo wiem, co zrobiłaś, bo dalej masz jedną funkcję ze zmienną niezależną \(x\), a drugą ze zmienną niezależną \(t\).

Napisz jeszcze raz to rozwiązanie, zaczynając od poprawnego sformułowania treści zadania, bo błąd ze zmiennymi jest już tam.

JK

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Układ fundamentalny równania różniczkowego

Post autor: Zuza0612 » 22 lut 2018, o 05:49

Ale taka była treść zadania, ja tego nie wymyślałam.

I w sumie to nie wiem jak to inaczej trzeba zrobić, byłam pewna, że moja odpowiedź (21 lut 2018, o 22:59) była już na 100%.

-- 22 lut 2018, o 06:53 --

\(\begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2t^{(-2t)} \end{vmatrix}\) - to miałam na początku

\(\begin{vmatrix} e^x & e^{(-2t)}\\ e^x & -2e^{(-2t)} \end{vmatrix}\) - na to zmiaeniłam-- 22 lut 2018, o 10:25 --Nauczyciel się pomylił w treści zadania. Jest bez \(t\).

Dziękuję bardzo za pomoc.

ODPOWIEDZ