Rozwiąż równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Rozwiąż równania różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 18:58

Muszę rozwiązać poniższe równania, trochę już zaczęłam, ale niestety nie wiem jak je skończyć. Nie wiem także czy dobrze zaczęłam.

a) \(\displaystyle{ y''=(y')^2 \cdot \ln y}\)

\(\displaystyle{ y'(x)=u(y)}\)

\(\displaystyle{ y''=u' \cdot u}\)

\(\displaystyle{ u'u=u^2 \ln y /:u}\)

\(\displaystyle{ u'=u \ln y}\)

Niestety nie wiem co dalej.

b) \(\displaystyle{ 2yy''= (y') ^{2} - 1}\)

\(\displaystyle{ y'= u(y)}\)

\(\displaystyle{ y''= u' \cdot u}\)

\(\displaystyle{ 2y(u' \cdot u)=u ^{2} - 1}\)

\(\displaystyle{ 2yu' \cdot u=u ^{2} - 1 /:2y}\)

\(\displaystyle{ u' \cdot u={\frac{u ^{2} - 1}{2y}} /:u ^{2} - 1}\)

\(\displaystyle{ {\frac{u' \cdot u}{u ^{2} - 1}={\frac{u ^{2} - 1}{2y} \cdot {\frac{1}{u ^{2} - 1}}\)

\(\displaystyle{ {\frac{u' \cdot u}{u ^{2} - 1}={\frac{1}{2y}}\)

Niestety nie wiem co dalej.

Z góry dziękuję za każdą pomoc.
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 20:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14148
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rozwiąż równania różniczkowe

Post autor: Premislav » 21 lut 2018, o 19:11

a)
\(\displaystyle{ y''=(y')^2 \cdot \ln y}\)
Łatwo widać, że dowolna funkcja stała dodatnia spełnia to równanie, a dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ y}\) nie jest stała, dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ y'}\), całkujemy stronami i mamy:
\(\displaystyle{ \ln |y'|=y\ln y-y\\ y'=\pm\left( e^{-1}y\right)^y}\)
i już chyba łatwo to dokończyć.-- 21 lut 2018, o 19:40 --Jeszcze stałą zgubiłem, powinno jednak być tak:
\(\displaystyle{ y'=C\left( e^{-1}y\right)^y}\),
gdzie \(\displaystyle{ C}\) to dowolna stała.

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Rozwiąż równania różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 19:47

\(\displaystyle{ y'=C(e^{-1} y)^y / \int}\)
\(\displaystyle{ y={\frac{C}{e}\int y^y}dy}\)

Głupoty zapewne pisze , ale nie mam innego pomysłu jak to liczyć...

ODPOWIEDZ