Równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 18:29

Muszę rozwiązać poniższe równanie, trochę już zaczęłam (analogicznie do tych co robiliśmy na zajęciach), ale niestety nie wiem jak skończyć.

\(x^2 yy'' - x^2(y')^2+2xyy'-y^2=0\)

\(y'=yz\)

\(y'' = y(z'+z^2)\)

\(x^2 yy(z'+z^2) - x^2y^2z^2+2xyyz-y^2=0 / :y^2 ; y \neq 0\)

\(x^2 (z'+z^2) - x^2z^2+2xz-1=0 /:x^2\)

\((z'+z^2) - z^2+{ \frac{2z}{x}}-{ \frac{1}{x^2}}=0\)

\(z'+{ \frac{2z}{x}}={ \frac{1}{x^2}}/ \int\)

\(z=\int{ \frac{1}{x^2}}-\int{ \frac{2z}{x}}\)

\(z={ \frac{C}{x^2}}-2 \cdot { \frac{1}{x}}={ \frac{C}{x^2}}-{ \frac{2}{x}}\)

Ma ktoś jakiś pomysł jak to skończyć?
Z góry dziękuję za pomoc.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 21 lut 2018, o 18:56

Zuza0612 pisze: \(z'+{ \frac{2z}{x}}={ \frac{1}{x^2}}/ \int\)

\(z=\int{ \frac{1}{x^2}}-\int{ \frac{2z}{x}}\)

\(z={ \frac{C}{x^2}}-2 \cdot { \frac{1}{x}}={ \frac{C}{x^2}}-{ \frac{2}{x}}\)
.
Równanie liniowe:
\(z'+\frac{2}{x}z= \frac{1}{x^2}\)
rozwiązujesz przez uzmiennianie stałej.
Wynik:
\(z= \frac{C}{x^2}+ \frac{1}{x}\)

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 19:02

Czyli to już jest koniec równania?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs » 21 lut 2018, o 19:09

Nie, rozwiązałem błędną końcówkę. Teraz, znając z-et wracasz do pierwszego podstawienia :
\(y'=yz\\ y'=y \left( \frac{C}{x^2}+ \frac{1}{x} \right) \\ \frac{dy}{y}= \left( \frac{C}{x^2}+ \frac{1}{x} \right) dx\\ \ln\left| y\right| = \frac{-C}{x}+ \ln\left| x\right|+K\\ y=Kxe ^{\frac{-C}{x}}\)
Ostatnio zmieniony 21 lut 2018, o 20:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Zuza0612
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 81
Rejestracja: 27 sty 2017, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: Zuza0612 » 21 lut 2018, o 19:17

Dziękuję

ODPOWIEDZ