Równanie różniczkowe

[Zuza0612]

Muszę rozwiązać poniższe równanie, trochę już zaczęłam (analogicznie do tych co robiliśmy na zajęciach), ale niestety nie wiem jak skończyć.

\(\displaystyle{ x^2 yy'' - x^2(y')^2+2xyy'-y^2=0}\)

\(\displaystyle{ y'=yz}\)

\(\displaystyle{ y'' = y(z'+z^2)}\)

\(\displaystyle{ x^2 yy(z'+z^2) - x^2y^2z^2+2xyyz-y^2=0 / :y^2 ; y \neq 0}\)

\(\displaystyle{ x^2 (z'+z^2) - x^2z^2+2xz-1=0 /:x^2}\)

\(\displaystyle{ (z'+z^2) - z^2+{ \frac{2z}{x}}-{ \frac{1}{x^2}}=0}\)

\(\displaystyle{ z'+{ \frac{2z}{x}}={ \frac{1}{x^2}}/ \int}\)

\(\displaystyle{ z=\int{ \frac{1}{x^2}}-\int{ \frac{2z}{x}}}\)

\(\displaystyle{ z={ \frac{C}{x^2}}-2 \cdot { \frac{1}{x}}={ \frac{C}{x^2}}-{ \frac{2}{x}}}\)

Ma ktoś jakiś pomysł jak to skończyć?
Z góry dziękuję za pomoc.

[kerajs]

\(\displaystyle{ z'+{ \frac{2z}{x}}={ \frac{1}{x^2}}/ \int}\)

\(\displaystyle{ z=\int{ \frac{1}{x^2}}-\int{ \frac{2z}{x}}}\)

\(\displaystyle{ z={ \frac{C}{x^2}}-2 \cdot { \frac{1}{x}}={ \frac{C}{x^2}}-{ \frac{2}{x}}}\)
.

Równanie liniowe:
\(\displaystyle{ z'+\frac{2}{x}z= \frac{1}{x^2}}\)
rozwiązujesz przez uzmiennianie stałej.
Wynik:
\(\displaystyle{ z= \frac{C}{x^2}+ \frac{1}{x}}\)

[Zuza0612]

Czyli to już jest koniec równania?

[kerajs]

Nie, rozwiązałem błędną końcówkę. Teraz, znając z-et wracasz do pierwszego podstawienia :
\(\displaystyle{ y'=yz\\
y'=y \left( \frac{C}{x^2}+ \frac{1}{x} \right) \\
\frac{dy}{y}= \left( \frac{C}{x^2}+ \frac{1}{x} \right) dx\\
\ln\left| y\right| = \frac{-C}{x}+ \ln\left| x\right|+K\\
y=Kxe ^{\frac{-C}{x}}}\)

[Zuza0612]

Dziękuję