Matematyka.pl

Witam, ostatnio natrafiłem na temat "nierówności wymierne", w której nie znam odpowiedzi na nurtujące mnie pytanie. Dlaczego nie mogę rozwiązać zadania w ten sposób:


\(\displaystyle{ \frac{3}{x}<-1}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{x}+1<0}\)

\(\displaystyle{ \frac{3+x}{x}<0/ \cdot x}\)

\(\displaystyle{ x<-3}\)

Z góry dzięki.

Bo nie wiesz jaki jest znak \(\displaystyle{ x}\) .

No, a to że \(\displaystyle{ D = \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) nie wystarcza?

Nie, bo takie mnożenie ma sens tylko dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\), a skoro w dziedzinie są też liczby ujemne to wychodzi Ci głupota.

To w takim razie jak takie zadania rozwiązywać?

Do momentu sprowadzenia do wspólnego mianownika masz dobrze.
Teraz zamiast dzielić przez niewiadomą wystarczy spostrzeżenie, że skoro iloraz jest ujemny to iloczyn też taki jest a więc równoważnie zapisujemy \(\displaystyle{ x(3+x)<0}\)
A to już standardowa nierówność kwadratowa.

No ok, ale np.
\(\displaystyle{ \frac{5}{10}>0}\)

\(\displaystyle{ 5 \cdot 10>0}\)

Nie ma sensu.

A to nie prawda, że \(\displaystyle{ 5 \cdot 10 > 0}\) ? Udowadnianie nierówności bez niewiadomych nie ma sensu.

A nierówność \(\displaystyle{ \frac{2}{x} > 0}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ 2 > 0}\) , bo przecież \(\displaystyle{ x}\) może być ujemne...

No jest to prawda, myślałem że wartości muszą być zachowane.

Przy nierównościach nie można tak pomnożyć przez \(\displaystyle{ x}\) z przyczyn wymienionych wyżej (nie znasz znaku).

Za to zawsze możesz obustronnie walić mnożąc przez \(\displaystyle{ x ^{2}}\) .
To w pełni dozwolone, mnożysz przez liczbę nieujemną.

W nierównościach wymiernych żeby się pozbyć mianownika, mnożysz obie strony przez jego kwadrat. I to jest fundamentem wiedzy o rozwiązywaniu nierówności wymiernych.

Przy nierównościach gdzie po jednej stronie jest zero, a to się da zrobić zawsze, można zastanawiać się nad znakiem licznika i mianownika, tj. rozpatrywać różne przypadki. Ułamek ma być mniejszy od zera więc:
1) Albo licznik jest dodatni, mianownik ujemny
2) Albo na odwrót
Generalnie nie ma jednej metody na rozwiązywanie tych nierówności, ale oczywiście trik wyżej z \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest bardzo skuteczny.

Mikaelow, poczytaj o nierównościach wymiernych i zapoznaj się z wężykowaniem.

Dilectus pisze:Mikaelow, poczytaj o nierównościach wymiernych i zapoznaj się z wężykowaniem.

A gdzie mogę poczytać o tym "wężykowaniem"?

Tutaj