Twierdzenie o ciągu i podzielności
: 17 lut 2018, o 22:23
Witam.
Tym razem byłbym dość mocno zaskoczony, gdyby to twierdzenie było już znane. Oto, co udało mi się udowodnić:
Dany jest ciąg różnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_1 , a_2 , ... , a_n}\). Dane jest również \(\displaystyle{ h \in \mathbb{N}_{+}}\). Istnieje wtedy takie \(\displaystyle{ x, k \in \mathbb{N}_{+}}\), że \(\displaystyle{ h | k}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ i \in \langle 1, n\rangle}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x \neq a_i \ \ \wedge \ \ (a_i - x) | (a_i + k) \ \ \wedge \ \ (a_i - x) | (x + k) .}\)
Twierdzenie można wykorzystać do takiego zadanka:
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ c_n}\) liczb naturalnych taki, że dla każdego \(\displaystyle{ b | a}\) zachodzi \(\displaystyle{ c_a \neq c_{a + b}}\). Udowodnij jest to ciąg nieograniczony.
To zadanie można rozwiązać wykorzystując indukcyjnie powyższe twierdzenie, aby wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ s}\) możemy znaleźć taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ c_n}\), w którym znajduje się \(\displaystyle{ s}\) elementów i wszystkie są od siebie różne.
To tyle w tym temacie.
Tym razem byłbym dość mocno zaskoczony, gdyby to twierdzenie było już znane. Oto, co udało mi się udowodnić:
Dany jest ciąg różnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_1 , a_2 , ... , a_n}\). Dane jest również \(\displaystyle{ h \in \mathbb{N}_{+}}\). Istnieje wtedy takie \(\displaystyle{ x, k \in \mathbb{N}_{+}}\), że \(\displaystyle{ h | k}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ i \in \langle 1, n\rangle}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x \neq a_i \ \ \wedge \ \ (a_i - x) | (a_i + k) \ \ \wedge \ \ (a_i - x) | (x + k) .}\)
Twierdzenie można wykorzystać do takiego zadanka:
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ c_n}\) liczb naturalnych taki, że dla każdego \(\displaystyle{ b | a}\) zachodzi \(\displaystyle{ c_a \neq c_{a + b}}\). Udowodnij jest to ciąg nieograniczony.
To zadanie można rozwiązać wykorzystując indukcyjnie powyższe twierdzenie, aby wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ s}\) możemy znaleźć taki podciąg ciągu \(\displaystyle{ c_n}\), w którym znajduje się \(\displaystyle{ s}\) elementów i wszystkie są od siebie różne.
To tyle w tym temacie.