Wyznacz ekstremale funkcjonału.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Wyznacz ekstremale funkcjonału.

Post autor: fluffiq » 16 lut 2018, o 00:57

Z racji że jestem bardzo zielony w liczeniu funkcjonałów - na zajęciach słabo a nawet wgl nie zostało to wytłumaczone a przykłady są jakieś potężne liczę na wasza pomoc.

\(F\left( u\right) = \int_{0}^{1} u'^{2} \mbox{d}x , u\left( 0\right) = 0 , u\left( 1\right) = \frac{1}{4}, \int_{0}^{1}(u- u'^{2}) \mbox{d}x = \frac{1}{12}\)

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Wyznacz ekstremale funkcjonału.

Post autor: NogaWeza » 16 lut 2018, o 01:02

Równania Eulera-Lagrange -> rozwiązanie pewnego równania różniczkowego -> wstawienie warunków. Tylko tyle potrzeba

fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Re: Wyznacz ekstremale funkcjonału.

Post autor: fluffiq » 16 lut 2018, o 01:04

NogaWeza pisze:Równania Eulera-Lagrange -> rozwiązanie pewnego równania różniczkowego -> wstawienie warunków. Tylko tyle potrzeba
A mógłbym prosić o chociaż początek rozwiązania?

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Wyznacz ekstremale funkcjonału.

Post autor: NogaWeza » 16 lut 2018, o 12:01

Jasne.

Mamy funkcjonał \(F(u) = \int_{x_0}^{x_1} L(x, u, u') \dd x\) z warunkami brzegowymi \(u(x_0)\) i \(u(x_1)\). Funkcja, która minimalizuje czy tam maksymalizuje ten funkcjonał jest dana równaniem różniczkowym:
\(\frac{\dd}{\dd x} \left( \frac{ \partial L}{ \partial u'} \right) - \frac{ \partial L}{ \partial u} = 0\)

W tym przypadku \(L = \left( u' \right)^2\), mamy zatem
\(\frac{\dd}{\dd x} 2u' = 0\), czyli \(2u'' = 0\).

Tylko, że jak tak teraz patrzę, to dochodzi jeszcze warunek \(\int_{0}^{1}(u- u'^{2}) \mbox{d}x = \frac{1}{12}\), z którym nie wiem co zrobić. Ja pokazałem, jak rozwiązać klasyczny problem, natomiast nie wiem jak uwzględnić to ograniczenia. Może ktoś inny będzie wiedział.

ODPOWIEDZ