Rozwiąż równanie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 125
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Rozwiąż równanie

Post autor: fluffiq » 15 lut 2018, o 22:19

\(4x^{2}y'' + 8y' + y = 0\)

Ktoś ma pomysł jak to ruszyć?
Ostatnio zmieniony 15 lut 2018, o 22:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie pisz symbolu pochodnej w indeksie górnym.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Rozwiąż równanie

Post autor: Premislav » 15 lut 2018, o 22:55

Ja nie pamiętam, jak się rozwiązuje coś takiego, ale przewidziałbym rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego.
Niech \(y(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \ x^n\). Różniczkując wyraz po wyrazie, otrzymujemy:
\(y''(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\\ y'(x)= \sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}\)
i po wstawieniu tego do równania otrzymujemy:
\(4 \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^n+8 \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}+ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n =0\)

Stąd mamy: \(8a_1+a_0=0, \ 16a_2+a_1=0\) oraz
\(4n(n-1)a_n+8(n+1)a_{n+1}+a_n=0\) dla \(n\ge 2\), a z tego ostatniego:
\(a_{n+1}=- \frac{(2n-1)^2}{8(n+1)} a_n\)
O ile się nie rąbnąłem w rachunkach, stąd można wyznaczyć \(a_n\) w zależności od \(a_0\), ale po pierwsze te współczynniki na pierwszy rzut oka niczego nie przypominają (w sensie rozwinięcia jakiejś sensownej funkcji w szereg Maclaurina), zaś po drugie to tylko rozwiązanie szczególne. Przestrzeń rozwiązań jest tu dwuwymiarowa, a to przewidywanie daje tylko jeden wymiar (chyba że się rąbnąłem w różniczkowaniu).

marika331
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 22 paź 2009, o 09:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: marika331 » 15 lut 2018, o 23:21

Rozwiązania poszukujemy w postaci:
\(y(x)= e^{sx}\)
Obliczamy pochodne i wstawiamy do równania.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: Premislav » 15 lut 2018, o 23:32

Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to \(4x^2\).

Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.

marika331
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 22 paź 2009, o 09:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kutno

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: marika331 » 15 lut 2018, o 23:33

Racja - nie zauważyłam, że jest x

Benny01
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1098
Rejestracja: 11 wrz 2015, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Górnicza Dolina

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: Benny01 » 15 lut 2018, o 23:49

Premislav pisze:Ta metoda jest dobra dla równań o stałych współczynnikach, ponieważ pozwala sprowadzić problem rozwiązania równania różniczkowego do rozwiązania równania algebraicznego. Tutaj to podejście nie zadziała, gdyż przeszkadza to \(4x^2\).

Teraz patrzę, że wolfram tego nie rozwiązuje, więc pewnie ja tym bardziej nie zwinąłbym sensownie tego szeregu. Pozostają pewnie metody numeryczne.
Mi pokazał "ładny" wynik.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4 ... 27%2By%3D0

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwiąż równanie

Post autor: Premislav » 15 lut 2018, o 23:51

O, to bardzo dziwne, bo tak samo wpisywałem.
No ale funkcje Bessela czy G-funkcja Meijera to trochę nie mój poziom.

ODPOWIEDZ