[MIX] na ferie zimowe
: 15 lut 2018, o 14:26
1. Wielomian \(\displaystyle{ x^ky^l + x^n+y^m+1}\) jest iloczynem wielomianu zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i wielomianu zmiennej \(\displaystyle{ y}\). Czy z tego wynika iż \(\displaystyle{ k=n}\) i \(\displaystyle{ l=m}\) ?
2. Czy istnieją funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f, g}\) takie że \(\displaystyle{ f(g(x)) = x^2}\) oraz \(\displaystyle{ g(f(x)) = x^3}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?
A czy odpowiedź zmieni się jeśli równanie \(\displaystyle{ g(f(x)) = x^3}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ g(f(x)) = x^4}\) ?
3. Ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, n\},}\) które nie mają parzystych punktów stałych ?
4. Udowodnić, że w czworokącie w który można wpisać okrąg przekątne oraz proste łączące punkty styczności przeciwległych boków mają punkt wspólny.
5. Wskazać możliwie najmniejszy trójkąt, którego wszystkie boki oraz środkowe mają długości całkowite.
6. Rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \frac{4x^2}{(1 - \sqrt{1+2x})^2} < 2x+9.}\)
7. Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg oraz \(\displaystyle{ BC=CD}\). Na przedłużeniu boku \(\displaystyle{ AB}\) jest taki punkt \(\displaystyle{ E}\) dla którego \(\displaystyle{ BE=AD}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AC = CE.}\)
8. Na ile obszarów /części możne być rozdzielona płaszczyzna po narysowaniu \(\displaystyle{ n}\) okręgów ?
9. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n+1}= 1+ \frac{a_1+…+a_n}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ a_1=0}\) to \(\displaystyle{ a_{n+1}= a_n + \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1.}\)
10. Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ f}\) takie że \(\displaystyle{ f(x)f(2x^2) = f(2x^3+x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
11. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 15 \}}\) o tej własności że iloczyn dowolnych trzech różnych jego elementów nie jest kwadratem liczby całkowitej. Ile maksymalnie elementów może mieć taki podzbiór ?
12. Wyznaczyć kres dolny i górny wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} +(1-a )(1-b),}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b \in [0,1].}\)
13. Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie rodziną wszystkich \(\displaystyle{ k}\) elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X = \{ 1, …, 2k+1 \}}\). Udowodnić, że istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ f : F \to F}\) o tej własności że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ f(A)}\) są rozłączne dla \(\displaystyle{ A \in F.}\)
14. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{(2n)!}{n! n^n}} = \frac{4}{e}.}\)
15. Zaproponować metodę konstrukcji stycznej do cykloidy (Cykloida to krzywa którą zakreśla dany punkt okręgu który toczy się po prostej).
16. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) środkowe \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ D}\), zaś w czworokąt \(\displaystyle{ BPDQ}\) można wpisać okrąg. Udowodnić, że ten trójkąt jest równoramienny.
17. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: \RR^{+} \to \RR^{+}}\) takie, że \(\displaystyle{ (z+1)f(x+y) = f(xf(z)+y) + f( yf(z)+ x)}\) gdy \(\displaystyle{ x, y, z \in \RR^{+}.}\)
18. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(A)}\) jeśli \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z})}\) (funkcja Żukowskiego) zaś \(\displaystyle{ A = \{ z : |z+1| \leq 2 \}.}\)
19. Żuk rozpoczyna wędrówkę z punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) przy czym idzie w kierunku poziomym lub pionowym. Droga z jednego punktu kratowego do sąsiedniego zajmuje mu minutę, a wędrówkę kończy gdy znajdzie się na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) lub \(\displaystyle{ y=-x}\). Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) wyrażającej czas podróży żuka.
20. Udowodnić że ciąg stopniowy \(\displaystyle{ (k, d_1,…,d_l)}\) jest graficzny wtedy i tylko wtedy jeśli graficznym jest ciąg \(\displaystyle{ (d_1-1, d_2-1,..., d_k-1, d_{k+1},...,d_l)}\). (twierdzenie Havla)
Ciąg stopniowy jest graficzny jeśli jest ciągiem stopni jakiegoś grafu (tj. ciągiem stopni wszystkich jego wierzchołków).
2. Czy istnieją funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f, g}\) takie że \(\displaystyle{ f(g(x)) = x^2}\) oraz \(\displaystyle{ g(f(x)) = x^3}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?
A czy odpowiedź zmieni się jeśli równanie \(\displaystyle{ g(f(x)) = x^3}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ g(f(x)) = x^4}\) ?
3. Ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, n\},}\) które nie mają parzystych punktów stałych ?
4. Udowodnić, że w czworokącie w który można wpisać okrąg przekątne oraz proste łączące punkty styczności przeciwległych boków mają punkt wspólny.
5. Wskazać możliwie najmniejszy trójkąt, którego wszystkie boki oraz środkowe mają długości całkowite.
6. Rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \frac{4x^2}{(1 - \sqrt{1+2x})^2} < 2x+9.}\)
7. Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg oraz \(\displaystyle{ BC=CD}\). Na przedłużeniu boku \(\displaystyle{ AB}\) jest taki punkt \(\displaystyle{ E}\) dla którego \(\displaystyle{ BE=AD}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ AC = CE.}\)
8. Na ile obszarów /części możne być rozdzielona płaszczyzna po narysowaniu \(\displaystyle{ n}\) okręgów ?
9. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n+1}= 1+ \frac{a_1+…+a_n}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ a_1=0}\) to \(\displaystyle{ a_{n+1}= a_n + \frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1.}\)
10. Wyznaczyć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ f}\) takie że \(\displaystyle{ f(x)f(2x^2) = f(2x^3+x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
11. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 15 \}}\) o tej własności że iloczyn dowolnych trzech różnych jego elementów nie jest kwadratem liczby całkowitej. Ile maksymalnie elementów może mieć taki podzbiór ?
12. Wyznaczyć kres dolny i górny wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} +(1-a )(1-b),}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b \in [0,1].}\)
13. Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie rodziną wszystkich \(\displaystyle{ k}\) elementowych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X = \{ 1, …, 2k+1 \}}\). Udowodnić, że istnieje odwzorowanie \(\displaystyle{ f : F \to F}\) o tej własności że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ f(A)}\) są rozłączne dla \(\displaystyle{ A \in F.}\)
14. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{(2n)!}{n! n^n}} = \frac{4}{e}.}\)
15. Zaproponować metodę konstrukcji stycznej do cykloidy (Cykloida to krzywa którą zakreśla dany punkt okręgu który toczy się po prostej).
16. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) środkowe \(\displaystyle{ AP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ D}\), zaś w czworokąt \(\displaystyle{ BPDQ}\) można wpisać okrąg. Udowodnić, że ten trójkąt jest równoramienny.
17. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: \RR^{+} \to \RR^{+}}\) takie, że \(\displaystyle{ (z+1)f(x+y) = f(xf(z)+y) + f( yf(z)+ x)}\) gdy \(\displaystyle{ x, y, z \in \RR^{+}.}\)
18. Wyznaczyć \(\displaystyle{ f(A)}\) jeśli \(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z})}\) (funkcja Żukowskiego) zaś \(\displaystyle{ A = \{ z : |z+1| \leq 2 \}.}\)
19. Żuk rozpoczyna wędrówkę z punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) przy czym idzie w kierunku poziomym lub pionowym. Droga z jednego punktu kratowego do sąsiedniego zajmuje mu minutę, a wędrówkę kończy gdy znajdzie się na prostej \(\displaystyle{ y=x}\) lub \(\displaystyle{ y=-x}\). Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) wyrażającej czas podróży żuka.
20. Udowodnić że ciąg stopniowy \(\displaystyle{ (k, d_1,…,d_l)}\) jest graficzny wtedy i tylko wtedy jeśli graficznym jest ciąg \(\displaystyle{ (d_1-1, d_2-1,..., d_k-1, d_{k+1},...,d_l)}\). (twierdzenie Havla)
Ciąg stopniowy jest graficzny jeśli jest ciągiem stopni jakiegoś grafu (tj. ciągiem stopni wszystkich jego wierzchołków).
Ukryta treść: