Matematyka.pl

mam taki przykład gdzie muszę przedstawić rozwiązanie w postaci trygonometrycznej i w postaci kartezjańskiej \(\displaystyle{ \sqrt[3]{8/i}}\) Wychodzą mi jakieś dziwne wyniki ale niby prawdziwe tylko że to polecenie z jednego zadania jako podpunkt i mi się wydaję że aż tak długo go się nie powinno rozwiązywać . Ktoś dałby radę ?

Zapisujemy standardowo w postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ \frac{8}{i}=-8i=8\left( \cos\left( - \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right) +i\sin\left( - \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right)\right)}\) A następnie korzystamy ze wzoru de Moivre'a. Dostając

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i}}=2\left( \cos\left( - \frac{ \pi }{6}+ \frac{2k \pi}{3} \right) +i\sin\left( - \frac{ \pi }{6}+\frac{2k \pi}{3} \right)\right)}\)

Teraz kładąc kolejno \(\displaystyle{ k=0,1,2}\) dostajemy kolejne rozwiązania w postaci trygonometrycznej. Trochę zabawy z wzorami redukcyjnymi pozwoli zapisać te rozwiązania w postaci algebraicznej.

Dobra wszystko ok ale jak wyliczyłeś argz kąt ten ?

Obawiam się jednak, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}=1}\). Ten zapis jest mocno do luftu w przypadku pierwiastków zespolonych (ale taki też niestety wystąpił w treści).

Ludziska skad ten kąt \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)

Ile to jest \(\displaystyle{ i \sin (\frac{-\pi}{2}) + \cos (\frac{-\pi}{2})}\)?

Premislav pisze:Obawiam się jednak, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1}=1}\). Ten zapis jest mocno do luftu w przypadku pierwiastków zespolonych (ale taki też niestety wystąpił w treści).

W dziedzinie zespolonej tego typu zapis nie powinien się kojarzyć z pierwiastkiem arytmetycznym

Dobra wszystko ok ale jak wyliczyłeś argz kąt ten ?

Zauważ że \(\displaystyle{ \frac{8}{i}=-8i}\) zaznacz tą liczbę na płaszczyźnie zespolonej a dowiesz się skąd wziąłem ten kąt. Może być \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{2}}\) lub \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2}}\) w zależności od której strony mierzysz kąt (czy przeciwnie z zegarem czy zgodnie)