Matematyka.pl

Witam.

Przyszła mi do głowy taka hipoteza odnośnie liczb pierwszych i chętnie bym się dowiedział, gdyby ktoś znał jakiś wynik odnoszący się do tej hipotezy lub gdyby ktoś ją obalił. Brzmi tak:

Dane są różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1 , p_2 , ... , p_k}\). Liczby pierwsze pogrupowano. Udowodnij (albo obal), że zawsze istnieje skończona ilość takich ciągów \(\displaystyle{ a_1 , a_2 , ... , a_k}\), że iloczyn liczb pierwszych w pierwszej grupie: \(\displaystyle{ {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot ... \cdot {p_i}^{a_i}}\) plus iloczyn liczb pierwszych w drugiej grupie: \(\displaystyle{ {p_{i + 1}}^{a_{i + 1}} \cdot {p_{i + 2}}^{a_{i + 2}} \cdot ... \cdot {p_j}^{a_j}}\) itd. plus iloczyn liczb w przedostatniej grupie jest równy ostatniemu iloczynowi. Dana grupa może być pusta, wtedy iloczyn liczb pierwszych w tej grupie to zawsze 1.

Jako przykład podam te dwa równania:

\(\displaystyle{ 2^x \cdot 3^y + 1 = 7^z}\)

\(\displaystyle{ 7^x + 1 + 2^y \cdot 5^z = 11^u \cdot 13^w}\)

Hipoteza zakłada, że obydwa te równania mają skończoną ilość rozwiązań.

Nie wszystko skumałem w tej hipotezie ale na pierwszy rzut oka można zobaczyć, że sterując grupą z dwójką oraz ilością grup można uzyskać liczbę parzystą (lub nieparzystą - do woli) a żadna grupa bez dwójki parzysta być nie może.

Hipoteza jest łatwa do obalenia: jeżeli wśród wybranych liczb pierwszych nie ma 2, a liczba grup jest nieparzysta, to suma po jednej stronie będzie parzysta, a po drugiej nieparzysta.

O, dziękuję.-- 17 lut 2018, o 23:27 --Nie, moment, to tylko potwierdza hipotezę. Szukamy równań, w których istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, nie ich skończona ilość. Więc wszyscy trzej się tutaj pomyliliśmy.