Matematyka.pl

Wiemy, że na kongruencjach możemy wykonywać różne działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie. Ale jak to udowodnić (głównie chodzi o potęgowanie, bo reszta jest raczej oczywista).
Skąd wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ a-b}\) , to \(\displaystyle{ x^{k}}\) dzieli \(\displaystyle{ a^{k}-b^{k}}\) ? Szukałem po internecie, ale jestem kiepski w znajdywaniu rzeczy, więc wolę zapytać.

Sugeruję przetestować tezę dla \(\displaystyle{ a=10 \wedge b=4 \wedge x=3}\) przy różnych wartościach k.

\(\displaystyle{ 2|5-3}\) ale \(\displaystyle{ 8\not| 98}\)

\(\displaystyle{ x^k}\) - tu jest błąd. Modulo zostaje to samo.

Macie rację. Już poprawiłem.

Nie zmieniaj w ten sposób treści zadania, gdyż wypacza to sensowność udzielonych odpowiedzi odnoszących się do oryginalnej treść.
Wystarczyło umieścić zmodyfikowaną treść zadania w dzisiejszym poscie.

Podzielność wynika z wzorku :
\(\displaystyle{ a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k-1}) \ \ \wedge \ \ k \in \NN \setminus \left\{ 0,1\right\}}\)