żS-1, od: altair3, zadanie 1

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-1, od: altair3, zadanie 1

Post autor: Liga » 28 wrz 2007, o 22:14

altair3 pisze:Mozna prosto zauważyc , ze skoro ciąg \(\displaystyle{ 3^{x_j}}\) jest geometryczny, to
ciąg \(\displaystyle{ x_j}\) jest arytmetyczny. Ponadto gdy \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem geometrycznym
to zachodzi wzór:
\(\displaystyle{ a_1 a_2 .... a_n =(a_1 a_n)^{\frac{n}{2}}}\)
Wzór ten łatwo dowieść rozpisująć
\(\displaystyle{ a_j=a_1 q^{j-1}}\)

Mamy więc ze:
\(\displaystyle{ 3^{x_1} 3^{x_1} ...3^{x_{11}} =(3^{x_1} 3^{x_{11}})^{\frac{11}{2}}}\)
i
\(\displaystyle{ 3^{x_1+....+x_{11}} =(3^{x_1} 3^{x_{11}})^{\frac{11}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 3^{55} =(3^{x_1} 3^{x_{11}})^{\frac{11}{2}}}\)
co po opuszczeniu podstaw poteg prowadzi do wzoru
\(\displaystyle{ x_1 + x_{11}=10}\)
czyli

\(\displaystyle{ 2x_1 + 10r=10}\)
i mamy
\(\displaystyle{ x_1 + 4r =4}\)

co daje \(\displaystyle{ r=1,\ x_1=0 \ x_2=1}\)
i wynik
\(\displaystyle{ 3^{x_2}=3}\)
Ostatnio zmieniony 6 paź 2007, o 23:22 przez Liga, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-1, od: altair3, zadanie 1

Post autor: Tristan » 28 wrz 2007, o 23:15

Dałbym 4/5. To pierwsze "zauważenie" jest bardzo istotne dla rozwiązania zadania i powinno być przedstawione dokładnie.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-1, od: altair3, zadanie 1

Post autor: scyth » 28 wrz 2007, o 23:17

chyba najładniejsze rozwiązanie do tej pory, według mnie zasłużone
5/5

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6915
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

żS-1, od: altair3, zadanie 1

Post autor: mol_ksiazkowy » 28 wrz 2007, o 23:25

eh, rozumiem obawy Tristana, ale metoda jest fajna i zgrabnie
napisane rozwiazanie, wiec sklaniałbym sie mimo tego do ....
5 pkt

ODPOWIEDZ