Równanie różniczkowe metodą operatorową

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Philip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 16 mar 2016, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe metodą operatorową

Post autor: Philip » 11 lut 2018, o 17:31

Rozwiązuje równanie metodą operatorową i zaciąłem się w pewnym momencie. Nie posiadam warunków początkowych a muszę wyliczyć rozwiązane szczególne równania różniczkowego. Jak dalej to pociągnąć?
Z góry dzięki
\(\displaystyle{ $$\left\{\begin{array}{l} x'-x+y=e^t\\x'-y'+y=t\end{array}$$\\ $$\left\{\begin{array}{l} L_{11}x+L_{12}y=e^t\\L_{21}x+L_{22}y=t\end{array}$$\\ $L_{11}=D-1$\\ $L_{12}=D$\\ $L_{21}=D$\\ $L_{22}=-D+1$\\ $$\left\{\begin{array}{l} (D-1)x+Dy=e^t\\Dx+(-D+1)=t\end{array}$$\\ $\left| \begin{array}{cc} D-1 & D\\ D & -D+1\\ \end{array} \right|x= $ $\left| \begin{array}{cc} e^t & D\\ t & -D+1\\ \end{array} \right| $\\ \\ $\left| \begin{array}{cc} D-1 & D\\ D & -D+1\\ \end{array} \right|y= $ $\left| \begin{array}{cc} D-1 &e^t\\ D & t\\ \end{array} \right| $\\\\ $\left| \begin{array}{cc} D-1 & D\\ D & -D+1\\ \end{array} \right|=-D^2+2D-1-D^2=-2D^2+2D-1 $\\\\ $\left| \begin{array}{cc} e^t & D\\ t & -D+1\\ \end{array} \right|=-D(e^t)+e^t-D(t)=-1 $\\\\ $\left| \begin{array}{cc} D-1 & e^t\\ D & t\\ \end{array} \right|=D(t)-t-D(e^t)=e^t-t+1 $\\\\ $(-2D^2+2D-1)x=-1$\\ $-2x''+2x'-x=-1$\\ $(-2D^2+2D-1)y=-e^t-t+1$\\ $-2y''+2y'-y=-e^t-t+1$\\ Równanie charakterystyczne równania jednorodnego będzie takie samo dla obu przypadków: $-2\lambda^2+2\lambda-1=0$\\ $\Delta=4-8=-4$\\ $\sqrt{\Delta}=\sqrt{-4}=2i$\\ $\lambda_1=1+i$\\ $\lambda_2=1-i$\\ $x_1(t)=e^t\cos(t)=y_1(t)$\\ $x_2(t)=e^t\sin(-t)=y_2(t)$\\ $x(t)=c_1e^t\cos(t)-c_2e^t\sin(t)$\\ $y(t)=c_3e^t\cos(t)-c_4e^t\sin(t)$\\}\)

Co dalej? Mogę tak zostawić?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Równanie różniczkowe metodą operatorową

Post autor: mariuszm » 11 lut 2018, o 21:31

Jak nie masz podanych warunków początkowych to przyjmujesz za nie dowolne stałe

Jeśli chodzi o metodę operatorową to czy nie powinieneś skorzystać z przekształcenia Laplace ?


\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }f'\left( t\right) e^{-st} \mbox{d}t=f\left( t\right)e^{-st}\biggl|_{0}^{ \infty }+s\int_{0}^{ \infty }f\left( t\right)e^{-st} \mbox{d}t\\ \mathcal{L}\left\{f'\left( t\right) \right\}=-f\left( 0^{+}\right)+s \mathcal{L}\left\{f\left( t\right)\right\} \\}\)

ODPOWIEDZ