Ekstremale funkcjonału, dobrze zrobiłem?

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Philip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 16 mar 2016, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Ekstremale funkcjonału, dobrze zrobiłem?

Post autor: Philip » 11 lut 2018, o 17:08

Dostałem taki o to funkcjonał. Nie jestem do końca pewien rozwiązania, bo wszystko poszło za gładko. No chyba, że taki to przykład. Jakieś uwagi? Czy na tym kończy się zadanie?
\(\mathcal{F} \left( u \right) =\int_{1}^{2} \left( x^2u-u+xu^2u' \right) dx\\ u \left( 1 \right) =0,\qquad u \left( 2 \right) =\sqrt{3}\)
W tym przypadku korzystamy z Równania Eulera-Lagrange-a:
\(\frac{\partial{f}}{\partial{u}}-\frac{d}{dx} \left( \frac{\partial{f}}{\partial{u'}} \right) =0}\\ \frac{\partial{f}}{\partial{u}}=x^2-1+2xuu'\\ \frac{\partial{f}}{\partial{u'}}=xu^2\\ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial{f}}{\partial{u'}} \right) =u^2+2xu'u\\ x^2-1+2xuu'-u^2-2xuu'=0\\ x^2-1-u^2=0\\ u^2=x^2-1\\ u \left( x \right) =\sqrt{x^2-1}\)
Ostatnio zmieniony 12 lut 2018, o 18:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Ekstremale funkcjonału, dobrze zrobiłem?

Post autor: janusz47 » 12 lut 2018, o 10:52

Rozwiązanie poprawne.

lub

\(u = -\sqrt{x^2 -1}.\)

ODPOWIEDZ