Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
irutar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 lut 2018, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: irutar » 11 lut 2018, o 11:21

Proszę o wskazówkę jak powinienem ruszyć to równianie różniczkowe.

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } }{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 0}\)

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 850
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW

Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: Lider_M » 11 lut 2018, o 12:13

Równanie Bernoulliego.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: arek1357 » 11 lut 2018, o 15:41

Można inaczej:

po przekształceniu masz:

\(\displaystyle{ (x^2+y^2)dx+ydy=0}\)

\(\displaystyle{ M=x^2+y^2, N=y}\)

\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=2y,\pfrac{N}{x}=0}\)

Szukamy czynnika całkującego z równania:

\(\displaystyle{ y\pfrac{\ln \mu}{x}-(x^2+y^2)\pfrac{\ln \mu}{y}=2y}\)

Możemy założyć, że czynnik całkujący nie zależy od y czyli równanie się uprości do:

\(\displaystyle{ \pfrac{\ln \mu}{x}=2}\)

po rozwiązaniu otrzymasz:

\(\displaystyle{ \mu=e^{2x}}\)

i początkowe równanie przybierze kształt:

\(\displaystyle{ e^{2x}(x^2+y^2)dx+e^{2x}ydy=0}\)

A teraz:

\(\displaystyle{ M=e^{2x}(x^2+y^2) , N=e^{2x}y}\)


\(\displaystyle{ \pfrac{M}{y}=\pfrac{N}{x}=2ye^{2x}}\)

Można podstawić do wzoru:

\(\displaystyle{ \int Mdx+\int Ndy=C}\)

Obliczyć całki i koniec...

Traktując to jak równanie Bernouliego trzeba by było zapisać w formie:

\(\displaystyle{ y'+y=-x^2y^{-1}}\)

\(\displaystyle{ n=-1}\)

i co dalej?

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: mariuszm » 11 lut 2018, o 21:15

\(\displaystyle{ u=y^{1-\left( -1\right) }}\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: arek1357 » 11 lut 2018, o 21:44

można i tak...
Choć nie wiem czemu ale lubię czynniki całkujące...

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: mariuszm » 12 mar 2018, o 00:50

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } }{x} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 0\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+y= -\frac{x^2}{y} \\ \mu_{1}\left( x,y\right)=e^{\left( 1-\left( -1\right) \right)\int{ \mbox{d}x } }y^{-\left( -1\right) }\\ \mu_{1}\left( x,y\right)=e^{2x}y\\ \mu\left( x,y\right)=xe^{2x}y\\}\)

ODPOWIEDZ